Calcular ∬ R ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) d x d y , sendo R o anel delimitado por x^2 + y^2 = 16 e x^2 + y^2 = 25 .

Passo 1

A representação gráfica se dá:

Assim:

16 ≤ x 2 + y 2 ≤ 25

Como:

x = r cos ⁡ θ ; y = r   s e n   θ ; x 2 + y 2 = r 2

Temos:

16 ≤ r 2 ≤ 25

4 ≤ r ≤ 5

Desse modo, temos que:

4 ≤ r ≤ 5

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

As coordenadas polares se dão:

x = r cos ⁡ θ ; y = r   s e n   θ ; x 2 + y 2 = r 2

Substituindo na equação dada, obtemos:

∫ 0 2 π ∫ 4 5 ln ⁡ r 2 ⋅ r   d r d θ

Passo 3

Integrando para r :

∫ 4 5 r ln ⁡ r 2   d r = r 2 ln ⁡ r - r 2 2

Aplicando os limites:

25 ln ⁡ 5 - 16 ln ⁡ 4 - 1 2 25 - 16 = 25 ln ⁡ 5 - 16 ln ⁡ 4 - 9 2

Passo 4

Integrando para θ :

∫ 0 2 π ( 25 ln ⁡ 5 - 16 ln ⁡ 4 - 9 2 ) d θ = 25 ln ⁡ 5 - 16 ln ⁡ 4 - 9 2 θ

Aplicando os limites:

25 ln ⁡ 5 - 16 ln ⁡ 4 - 9 2 2 π - 0 = 2 π 25 ln ⁡ 5 - 16 ln ⁡ 4 - 9 2  

ln ⁡ 4 = 2 ln ⁡ 2

2 π 25 ln ⁡ 5 - 16 ln ⁡ 4 - 9 2 = 2 π 25 ln ⁡ 5 - 32 ln ⁡ 2 - 9 2  

Resposta

2 π 25 ln ⁡ 5 - 32 ln ⁡ 2 - 9 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados