Calcular ∬ R y d x d y , sendo R o círculo x^2 + y^2 - 4y <= 0 .

Passo 1

A representação gráfica se dá:

Assim:

x 2 + y 2 - 4 y ≤ 0

x 2 + y 2 ≤ 4 y

Como:

x = r cos ⁡ θ ; y = r   s e n   θ ; x 2 + y 2 = r 2

Temos:

r 2 ≤ 4 r sen ⁡ θ

r ≤ 4 sen ⁡ θ

Desse modo, temos que:

0 ≤ r ≤ 4   s e n   θ

0 ≤ θ ≤ π

Passo 2

As coordenadas polares se dão:

x = r cos ⁡ θ ; y = r   s e n   θ ; x 2 + y 2 = r 2

Substituindo na equação dada, obtemos:

∫ 0 π ∫ 0 4   s e n   θ r   s e n   θ ⋅ r   d r d θ

Passo 3

Integrando para r :

∫ 0 4   s e n   θ r 2 s e n   θ   d r = r 3 3 s e n   θ

Aplicando os limites:

64 3 s e n 3   θ - 0 s e n   θ = 64 3 s e n 4 θ

Passo 4

Integrando para θ :

∫ 0 π 64 3 s e n 4 θ d θ = - 16 3 s e n 3 θ ⋅ cos ⁡ θ + 8 θ - 4   s e n   2 θ

Aplicando os limites:

- 16 3 0 - 0 + 8 π - 0 - 4 0 - 0 = 8 π

Resposta

8 π

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