Enunciado

Calcular um valor aproximado para as seguintes raízes, usando diferencial.

(a) 50 ;(b) 63,5 3 ;(c) 13 4

Passo 1

Para calcular esses valores aproximados, vamos partir de pontos próximos o suficiente dos valores que temos, cujos resultados nós conhecemos. Como assim?

Pra 50 , o valor mais próximo que conhecemos exatamente é 49 = 7 .

Pra 63,5 3 , conhecemos exatamente 64 3 = 4 .

Pra 13 4 , conhecemos exatamente 16 4 = 2 .

Passo 2

(b)Vamos tirar uma raiz cúbica. Estamos então trabalhando com uma função do tipo f x = x 3 .

Pra determinar o valor f x = 63,5 3 , vamos trabalhar com a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto x = 64 . A equação tem o seguinte formato:

y = f 64 + f ' ( 64 ) ∙ ( x - 64 )

Temos que a derivada da nossa função f x = x 3 vale f ' x = 1 3 x 2 3 . Aplicada no ponto x = 64 , temos f ' 64 = 1 3 64 2 3 = 1 3 4096 3 = 1 3 ∙ 16 ≅ 0,021 . Assim, teremos:

∴ y = 4 + 0,021 ∙ ( x - 64 )

Passo 3

Temos, então, essa equação: y = 4 + 0,021 ∙ ( x - 64 ) . É nela que vamos inserir o valor x = 63,5 , ao invés de aplicar f 63,5 = 63,5 3 , que não temos como calcular tão facilmente. Teremos então:

y = 4 + 0,021 ∙ ( 63,5 - 64 )

y = 4 - 0,021 ∙ 0,5

∴ y ≅ 3,989

Jogando esse valor em uma calculadora e elevando-o ao cubo, confirmamos que é um valor muito próximo a 63,5 3 .

Resposta

(b) ∴ y ≅ 3,989

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Explique a relação entre continuidade e derivabilidade.
Mostre que f x = x 2 + 2 ,x ≤ 1 x + 2 ,x1 é contínua, mas não diferenciável em x = 1 . Esboce o gráfico de f .
Mostre que f x = x 2 sen ⁡ 1 x ,x ≠ 0 0 ,x = 0 é contínua e diferenciável em x = 0 . Esboce o gráfico de f na vizinhança de x = 0 .
Explique um parágrafo explicando o que significa uma função ser derivável. Inclua exemplos de funções que não sejam deriváveis, bem como exemplos de funções que sejam deriváveis.
Mostre que f x = x 2 + 1 ,x ≤ 1 2 x ,x1 é contínua e diferenciável em x = 1 . Esboce o gráfico de f .