Enunciado

Calcular

7. int ( (2)/(root(3)(x)) ) d x

Passo 1

Para começar vamos recordar de um conceito de radiciação que diz que qualquer raiz pode ser escrita como um exponencial, nesse caso é possível escrever a integral proposta da seguinte forma:

I = int ( (2)/(x^((1)/(3))) ) d x

Depois de escrever a raiz em forma de exponencial, passamos ao próximo passo.

Passo 2

Depois de verificar qual é a variável do problema, retiramos qualquer constante que acompanhar nossa variável.

Ex: int ( a x ) d x = a int (x) d x

Nesse caso a integral que nos foi dada pode ser escrita então da seguinte maneira: I = int ( (2)/(x^((1)/(3))) ) d x = 2 int ( (1)/(x^((1)/(3))) ) d x

Agora podemos escrever a função dentro do parênteses apenas em termos de “x” e seu expoente. Essa propriedade pode ser escrita da seguinte forma:

(1)/(x^n) = x^(- n)

Onde “n” é qualquer expoente de “x” inclusive uma fração.

Passo 3

Com a união dos passos acima chega-se a seguinte integral que é igual a que foi proposta:

I = 2 int ( (1)/(x^((1)/(3))) ) d x

I = 2 int ( x^(- (1)/(3)) ) d x

Aplicando a regra de integral temos o seguinte resultado:

I = 2 ((x)/(- (1)/(3) + 1)^(- (1)/(3) + 1)) + c

I = 2 ((x)/((2)/(3))^((2)/(3))) + c

Não se esqueçam de que o resultado da integral sempre vem acompanhado da soma de uma constante, ela serve pra diferenciar a sua função das infinitas que são paralelas a ela.

Resposta

I = 3 x^((2)/(3)) + c

Pronto, chegamos ao resultado final.

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