Enunciado

Calcule ∫ x   a r c tg ⁡ x d x usando integração por partes. Simplifique o cálculo de ∫ v d u introduzindo a constante de integração C 1 = 1 2 quando passar de d v para v .

Passo 1

Vamos analisar a equação por integração por partes do tipo:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Vamos chamar os termos de :

u = tg - 1 ⁡ x

d u = 1 1 + x 2 d x

d v = x d x

v = 1 2 ( x 2 + 1 )

Usando integração por partes:

∫ x   tg - 1 ⁡ x d x = tg - 1 ⁡ x . 1 2 x 2 + 1 - ∫ 1 2 x 2 + 1 . 1 1 + x 2 d x

Simplificando termos, temos:

∫ x   tg - 1 ⁡ x d x = tg - 1 ⁡ x . 1 2 x 2 + 1 - 1 2 ∫ d x

Resolvendo, temos:

∫ x   tg - 1 ⁡ x d x = 1 2 x 2 + 1 tg - 1 ⁡ x - 1 2 x + C

Resposta

∫ x   tg - 1 ⁡ x d x = 1 2 x 2 + 1 tg - 1 ⁡ x - 1 2 x + C

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