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Calcule:

∫ 5 x 2 + 1 x - 1 d x

Passo 1

Para resolver a integral, vamos fazer uso de uma substituição simples:

u = x - 1 ⇒ x = u + 1

Como:

u = x - 1

d u d x = 1

d u = d x

Agora, reescrevemos a integral:

∫ 5 x 2 + 1 x - 1 d x = ∫ 5 u + 1 2 + 1 u d u

Passo 2

Vamos desenvolvê-la, meus consagrados:

∫ 5 x 2 + 1 x - 1 d x = ∫ 5 ( u 2 + 2 u + 1 ) + 1 u d u

∫ 5 x 2 + 1 x - 1 d x = ∫ 5 u 2 + 10 u + 5 + 1 u d u

∫ 5 x 2 + 1 x - 1 d x = ∫ 5 u 2 + 10 u + 6 u d u

∫ 5 x 2 + 1 x - 1 d x = ∫ 5 u 2 u d u + ∫ 10 u u d u + ∫ 6 u d u

∫ 5 x 2 + 1 x - 1 d x = 5 ∫ u   d u + 10 ∫ 1   d u + 6 ∫ 1 u d u

Lembrando:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 ; n ≠ - 1

∫ 1 m x + n d x = 1 m l n | m x + n |

Por fim, iremos resolver nossa querida integral:

∫ 5 x 2 + 1 x - 1 d x = 5 2 u 2 + 10 u + 6 ln ⁡ u + C

Agora, vamos usar novamente a substituição: u = x - 1 .

∫ 5 x 2 + 1 x - 1 d x = 5 2 ( x - 1 ) 2 + 10 ( x - 1 ) + 6 ln ⁡ x - 1 + C

∫ 5 x 2 + 1 x - 1 d x = 5 2 ( x 2 - 2 x + 1 ) + 10 ( x - 1 ) + 6 ln ⁡ x - 1 + C

∫ 5 x 2 + 1 x - 1 d x = 5 2 x 2 - 5 x + 5 2 + 10 x - 10 + 6 ln ⁡ x - 1 + C

∫ 5 x 2 + 1 x - 1 d x = 5 2 x 2 + 5 x - 15 2 + 6 ln ⁡ x - 1 + C

Por fim, temos nossa resposta após colocar 5 2 em evidência:

∫ 5 x 2 + 1 x - 1 d x = 5 2 ( x 2 + 2 x - 3 ) + 6 ln ⁡ x - 1 + C

Resposta

∫ 5 x 2 + 1 x - 1 d x = 5 2 ( x 2 + 2 x - 3 ) + 6 ln ⁡ x - 1 + C

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