Calcule:

∫ x x 2 - 5 x + 6 d x

Passo 1

Para resolvermos nossa integral, vamos fazer uso de uma técnica algébrica para facilitar nossas vidas que é dada por:

Dada uma equação do segundo grau qualquer, escrita da forma:

f x = a x 2 + b x + c

Ela pode ser reescrita como:

a x 2 + b x + c = a ( x - x 1 ) ( x - x 2 )

Sendo x 1 e x 2 as soluções reais da equação.

Com essa informação em mãos, vamos reescrever a equação do segundo grau que temos:

f x = x 2 - 5 x + 6

Usando Baskhara:

x 1 = - b + b 2 - 4 a c 2 a   e   x 2 = - b - b 2 - 4 a c 2 a

Sendo:

a = 1   b = - 5   c = 6

Teremos:

x 1 = - ( - 5 ) + ( - 5 ) 2 - 4.1 . 6 2.1

x 1 = 3

x 2 = - ( - 5 ) - - 5 2 - 4.1 . 6 2.1

x 2 = 2

Como: a x 2 + b x + c = a ( x - x 1 ) ( x - x 2 )

Podemos reescrever nossa equação como sendo (sintam-se à vontade para verificar a validade da igualdade):

x 2 - 5 x + 6 = ( x - 3 ) ( x - 2 )

Agora, para resolvermos essa questão usaremos o seguinte teorema e, também, método de resolução de integrais, muito conhecido como Frações Parciais:

Sejam α ,   β ,   m   e   n reais dados, com α ≠ β . Então existem constantes A   e   B tais que:

a )   m x + n ( x - α ) ( x - β ) = A ( x - α ) + B ( x - β ) ;

b ) m x + n x - α 2 = A ( x - α ) + B x - α 2 .

Atenção: o Teorema só é válido para quando o grau do numerador é MENOR do que o grau do denominador!!!

Por fim, nossa integral será escrita como:

∫ x x 2 - 5 x + 6 d x = ∫ x ( x - 3 ) ( x - 2 ) d x

Agora, podemos aplicar o teorema:

x x - 3 x - 2 = A ( x - 3 ) + B ( x - 2 )

Aplicando o MMC, passamos a ter:

x x - 3 x - 2 = A x - 2 + B ( x - 3 ) ( x - 3 ) ( x - 2 )

Como temos uma igualdade com denominadores iguais, vamos analisar, por comparação, apenas os numeradores:

x = A x - 2 + B ( x - 3 )

Vamos ditar valores para x para que consigamos zerar uma constante e trabalhar com apenas uma incógnita:

Para x = 2 :

- B = 2

B = - 2

Para x = 3 :

1 . A = 3

A = 3

Então, por fim, podemos reescrever nossa integral final como sendo:

∫ x x 2 - 5 x + 6 d x = ∫ 3 x - 3 d x + ∫ - 2 x - 2 d x

Passo 2

Vamos resolver separadamente as integrais:

E q . 1 = ∫ 3 x - 3 d x

E q . 2 = ∫ - 2 x - 2 d x

Lembrando:

∫ 1 m x + n d x = 1 m l n | m x + n |

Será resolvida da seguinte forma a Eq.1:

∫ 3 x - 3 d x = 3 ∫ 1 x - 3 d x

∫ 3 x - 3 d x = 3 l n x - 3 + C 1

Agora, vamos resolver nossa Eq.2:

∫ - 2 x - 2 d x = - 2 ∫ 1 x - 2 d x

∫ - 2 x - 2 d x = - 2 l n x - 2 + C 2

Vamos somar Eq.1+Eq.2 para obter nossa solução:

E q . 1 + E q . 2 = 3 ln ⁡ x - 3 + C 1 - 2 ln ⁡ x - 2 + C 2

Vamos adotar: C 1 + C 2 = C , sendo C uma constante real.

Logo, por fim:

∫ x x 2 - 5 x + 6 d x = 3 ln ⁡ x - 3 - 2 ln ⁡ x - 2 + C

Resposta

∫ x x 2 - 5 x + 6 d x = 3 ln ⁡ x - 3 - 2 ln ⁡ x - 2 ) + C

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