Enunciado

Calcule:

int (x)/(x^2 - 5 x + 6) d x

Passo 1

Para resolvermos nossa integral, vamos fazer uso de uma técnica algébrica para facilitar nossas vidas que é dada por:

Dada uma equação do segundo grau qualquer, escrita da forma:

f (x) = a x^2 + b x + c

Ela pode ser reescrita como:

a x^2 + b x + c = a ( x - x_1 ) ( x - x_2 )

Sendo x_1 e x_2 as soluções reais da equação.

Com essa informação em mãos, vamos reescrever a equação do segundo grau que temos:

f (x) = x^2 - 5 x + 6

Usando Baskhara:

x_1 = (- b + sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a) e x_2 = (- b - sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)

Sendo:

a = 1 b = - 5 c = 6

Teremos:

x_1 = (- ( - 5 ) + sqrt(( - 5 )^2 - 4.1 . 6))/(2.1)

x_1 = 3

x_2 = (- ( - 5 ) - sqrt((- 5)^2 - 4.1 . 6))/(2.1)

x_2 = 2

Como: a x^2 + b x + c = a ( x - x_1 ) ( x - x_2 )

Podemos reescrever nossa equação como sendo (sintam-se à vontade para verificar a validade da igualdade):

x^2 - 5 x + 6 = ( x - 3 ) ( x - 2 )

Agora, para resolvermos essa questão usaremos o seguinte teorema e, também, método de resolução de integrais, muito conhecido como Frações Parciais:

Sejam alpha , beta , m e n reais dados, com alpha != beta . Então existem constantes A e B tais que:

a ) (m x + n)/(( x - alpha ) ( x - beta )) = (A)/(( x - alpha )) + (B)/(( x - beta )) ;

b ) (m x + n)/((x - alpha)^2) = (A)/(( x - alpha )) + (B)/((x - alpha)^2) .

Atenção: o Teorema só é válido para quando o grau do numerador é MENOR do que o grau do denominador!!!

Por fim, nossa integral será escrita como:

int (x)/(x^2 - 5 x + 6) d x = int (x)/(( x - 3 ) ( x - 2 )) d x

Agora, podemos aplicar o teorema:

(x)/((x - 3) (x - 2)) = (A)/(( x - 3 )) + (B)/(( x - 2 ))

Aplicando o MMC, passamos a ter:

(x)/((x - 3) (x - 2)) = (A (x - 2) + B ( x - 3 ))/(( x - 3 ) ( x - 2 ))

Como temos uma igualdade com denominadores iguais, vamos analisar, por comparação, apenas os numeradores:

x = A (x - 2) + B ( x - 3 )

Vamos ditar valores para x para que consigamos zerar uma constante e trabalhar com apenas uma incógnita:

Para x = 2 :

- B = 2

B = - 2

Para x = 3 :

1 . A = 3

A = 3

Então, por fim, podemos reescrever nossa integral final como sendo:

int (x)/(x^2 - 5 x + 6) d x = int (3)/(x - 3) d x + int (- 2)/(x - 2) d x

Passo 2

Vamos resolver separadamente as integrais:

E q . 1 = int (3)/(x - 3) d x

E q . 2 = int (- 2)/(x - 2) d x

Lembrando:

int (1)/(m x + n) d x = (1)/(m) l n | m x + n |

Será resolvida da seguinte forma a Eq.1:

int (3)/(x - 3) d x = 3 int (1)/(x - 3) d x

int (3)/(x - 3) d x = 3 l n |x - 3| + C_1

Agora, vamos resolver nossa Eq.2:

int (- 2)/(x - 2) d x = - 2 int (1)/(x - 2) d x

int (- 2)/(x - 2) d x = - 2 l n |x - 2| + C_2

Vamos somar Eq.1+Eq.2 para obter nossa solução:

E q . 1 + E q . 2 = 3 ln |x - 3| + C_1 - 2 ln |x - 2| + C_2

Vamos adotar: C_1 + C_2 = C , sendo C uma constante real.

Logo, por fim:

int (x)/(x^2 - 5 x + 6) d x = 3 ln |x - 3| - 2 ln |x - 2| + C

Resposta

int (x)/(x^2 - 5 x + 6) d x = 3 ln |x - 3| - 2 ln |x - 2| ) + C

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