Calcule a integral.

∫ 1 x 4 - x 2   d x

Passo 1

Precisamos calcular a integral usando o método das frações parciais. Primeiro, vamos derivar o denominador:

x 4 - x 2 = x 2 x 2 - 1 = x 2 ( x - 1 ) ( x + 1 )

Assim,

1 x 4 - x 2 = 1 x 2 ( x - 1 ) ( x + 1 ) = A x + B x 2 + C x - 1 + D x + 1

Desta forma,

1 x 4 - x 2 = A x x 2 - 1 + B x 2 - 1 + C x 2 x + 1 + D x 2 ( x - 1 ) x 4 - x 2

Portanto,

A + C + D x 3 + B + C - D x 2 - A x + B = 1

Assim, A = 0 e B = 1 . De modo que

C + D = 0 C - D = - 1

Desta forma, encontramos C = - 1 2 e D = 1 2 . Então

1 x 4 - x 2 = 1 x 2 - 1 2 x - 1 + 1 2 ( x + 1 )

Passo 2

Portanto, a integral pode ser escrita como

∫ 1 x 4 - x 2 d x = ∫ 1 x 2 - 1 2 x - 1 + 1 2 x + 1 d x

Calculando a integral, chegamos a

∫ 1 x 4 - x 2 d x = - 1 x - 1 2 ln ⁡ x - 1 + 1 2 ln ⁡ x + 1 + C

Resposta

- 1 x - 1 2 ln ⁡ x - 1 + 1 2 ln ⁡ x + 1 + C

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