Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas) - Capítulo 8.3 - Ex. 57

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desse livro

Calcule ∫ x 3 1 - x 2 d x usando:

  1. Integração por parte
  2. Substituição por u
  3. Substituição trigonométrica

Passo 1

Galera, existem várias técnicas de Integração. Cabe a você decidir qual será mais fácil para você. Mas nesse caso, o enunciado pede para resolver a integral usando 3 métodos diferentes: usando a integração por partes, a substituição por u e a substituição trigonométrica. Então vamos, lá:

  1. Temos que a fórmula da integração por parte é:

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

Vamos fazer então: u = x 2 e d v = x 1 - x 2 . Assim teremos: d u = 2 x   d x e v =   - 1 3 ( 1 - x 2 ) 3 / 2 .

Vamos substituir agora:

∫ x 3 1 - x 2   d x =   -   1 3 x 2 1 - x 2 3 2 +   1 3 ∫ ( 1 - x 2 ) 3 2 2 x   d x

=   -   1 3 x 2 1 - x 2 3 2 -   2 15 1 - x 2 5 2 + C

Passo 2

b) Agora, vamos calcular a mesma integral, utilizando o método da substituição por u

Nesse método de integração devemos chamar um termo de u , para facilitar a nossa integração. Beleza?

Então vamos chamar de u = 1 - x 2 , logo d u =   - 2 x   d x   →   - 1 2 d u = x   d x

∫ x 3 1 - x 2 d x =   ∫ x 2 1 - x 2 x   d x = ∫ - ( 1 - u ) u d u 2

=   -   1 2 ∫ 1 - u u   d u =   - 1 2 ∫ u - u 3 2 d u

=   - 1 2 ∫ u 1 / 2 - ∫ u 3 / 2   d u )  

=   - 1 3 u 3 2 +   2 5 u 3 2 + C

=   - 1 3 1 - x 2 3 2 +   1 5 1 - x 2 5 2 + C

Passo 3

c)

Ainda temos mais uma maneira de resolver essa integração, usando a substituição trigonométrica. Assim podemos fazer:

x = sin ⁡ θ       → d x = cos ⁡ θ   d θ

1 - x 2 = cos ⁡ θ

∫ x 3 1 - x 2 d x =   ∫ sin 3 ⁡ θ . cos ⁡ θ d θ

= ∫ sin 2 ⁡ θ . cos 2 ⁡ θ . sin ⁡ θ   d θ

=   ∫ ( 1 - cos 2 ⁡ θ ) . cos 2 ⁡ θ sin ⁡ θ   d θ

=   ∫ cos 2 ⁡ θ sin ⁡ θ d θ - ∫ cos 4 ⁡ θ sin ⁡ θ

- 1 3 cos 3 ⁡ θ + 1 5 cos 5 ⁡ θ + C

=   - 1 3 1 - x 2 3 2 +   1 5 1 - x 2 5 2 + C

Resposta

∫ x 3 1 - x 2 d x =   - 1 3 1 - x 2 3 2 +   1 5 1 - x 2 5 2 + C

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