Calcule a integral indefinida.

∫ 1 x 2   a 2 + x 2   d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral. O ideal é tentar eliminar essa raiz chata no denominador. Para fazer isso, vamos usar uma substituição trigonométrica:

x = a tan ⁡ θ

Assim,

a 2 + x 2 = a   1 + tan 2 ⁡ θ = a sec 2 ⁡ θ = a sec ⁡ θ

Além disso,

d x = a sec 2 ⁡ θ   d θ

Desta forma, a integral ficará:

I = ∫ 1 x 2   a 2 + x 2   d x = ∫ 1 a 2 tan 2 ⁡ θ ⋅ a sec ⁡ θ ⋅ a sec 2 ⁡ θ   d θ

Portanto,

I = 1 a 2 ∫ sec ⁡ θ tan 2 ⁡ θ   d θ

Passo 2

Passando para senos e cossenos:

sec ⁡ θ tan 2 ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ s e n 2 θ cos 2 ⁡ θ = cos ⁡ θ s e n 2 θ

Portanto,

I = 1 a 2 ∫ cos ⁡ θ s e n 2 θ   d θ

Chamando u = s e n   θ , temos que d u = cos ⁡ θ   d θ . Assim,

I = 1 a 2 ∫ 1 u 2   d u = - 1 a 2   u + C = - 1 a 2   s e n   θ + C

Passo 3

Agora precisamos voltar a variável x . Note que

tan ⁡ θ = x a = s e n   θ cos ⁡ θ ⇒ cos ⁡ θ = a x   s e n   θ

Na relação fundamental:

s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1 ⇒ 1 + a 2 x 2   s e n 2 θ = 1 ⇒ s e n 2 θ = x 2 a 2 + x 2

Assim,

1 s e n   θ = a 2 + x 2 x

Logo,

I = = - 1 a 2   s e n   θ + C = - a 2 + x 2 a 2   x + C

Resposta

- a 2 + x 2 a 2   x + C

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