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Calcule ∬ σ u → ⋅ n →   d S sendo σ a fronteira de B com normal exterior n → sendo:

b )   B = x , y , z ∈ R 3 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 ,   z ≥ x + y } e u → = - 2 x y i → + y 2 j → + 3 z k → .

Passo 1

Vamos aplicar o teorema de Gauss:

∬ σ u → ⋅ n →   d S = ∭ B d i v   u →   d x d y d z

Vamos calcular o divergente então:

d i v   u → = - 2 y + 2 y + 3

= 3

Agora vamos pensar na nossa região. Temos uma esfera em x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 e pelo plano   z ≥ x + y cortamos essa esfera ao meio, nos dando uma semi-esfera de raio 1.

Passo 2

Então olha só, nossa integral se resumiu a:

∭ B 3   d x d y d z

Ou seja:

= 3 ⋅ v o l   B

Como é o volume de uma semi-esfera de raio 1, temos que v o l   B = 2 π 3 .

Então nossa integral resulta em:

= 3 ⋅ 2 π 3

= 2 π

Prontinho!! 😉

Resposta

2 π

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