Enunciado

a) Mostre que o fluxo exterior do campo vetorial de posicao F = xi + yj + zk atraves de uma superficie S fechada e lisa e tres vezes o volume da regiao delimitada pela superficie.

b) Seja n o campo vetorial unitario normal exterior em S. Mostre que nao e possivel que F seja ortogonal a n em todo ponto de S.

Passo 1

Falaaaa rapaziada tudo blz ?

Na letra (a), temos que

∂ ∂ x x = 1 ,         ∂ ∂ y y = 1 ,                 ∂ ∂ z z = 1

Vamos assim ter que,

∇ . F = 3 →   o fluxo vai ficar

∬ D ∫ 3   d v =   3 ∬ D ∫   d v =   3

Passo 2

Na letra (b) sabendo que se F é ortogonal a n em todos os pontos de S, então F . n = 0 em todos os lugares de ∫ S ∫ F n   d σ = 0 . Mas o fluxo é igual a,

3 ≠ 0

Com isso F não é ortogonal para todos os pontos.

Resposta

a) 3

b) 3 ≠ 0 Com isso F não é ortogonal para todos os pontos.

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