2. Calcule

f )   ∫ 1 2 x 3 + 1 x d x

Passo 1

Cara, pra facilitar nossa vida, primeiro vamos calcular a integral indefinida e aí depois aplicamos os limites de integração, pode ser?

Primeiro, para facilitar os cálculos, podemos separar essa fração em duas partes, pois o numerador é composto por uma soma, sendo assim:

∫ x 3 x + 1 x d x

Mas a divisão x 3 x é igual x ² , então:

∫ x 2 + 1 x d x

Passo 2

Como temos uma soma na integral, podemos separá-la em duas integrais, pois por propriedade, a integral da soma é a soma das integrais

∫ x 2 + 1 x d x =   ∫ x 2 d x +   ∫ 1 x d x

Para a primeira integral, como se trata de um polinômio iremos usar a primitiva imediata ∫ x α d x = x α + 1 α + 1 .

Já na segunda integral, temos a primitiva imediata ∫ 1 x d x = l n   x . Com isso, temos:

∫ x 2 d x +   ∫ 1 x d x = x 3 3 + ln ⁡ x

Passo 3

Agora que sabemos o resultado da integral indefinida, vamos aplicar os valores do intervalo de integração:

∫ 1 2 x 3 + 1 x d x = x 3 3 + ln ⁡ x 1 2

∫ 1 2 x 3 + 1 x d x = 2 3 3 + ln ⁡ 2 -   1 3 3 + ln ⁡ 1

∫ 1 2 x 3 + 1 x d x = 8 3 + ln ⁡ 2 - 1 3 -   ln ⁡ 1

∫ 1 2 x 3 + 1 x d x = 8 - 1 3 + ln ⁡ 2 - ln ⁡ 1

Sabemos que ln ⁡ 1 = 0 , pois o logaritmo de 1 em qualquer base é 0 né hehe

∫ 1 2 x 3 + 1 x d x = 7 3 + ln ⁡ 2 - 0

Por fim:

∫ 1 2 x 3 + 1 x d x = 7 3 + ln ⁡ 2

Resposta

∫ 1 2 x 3 + 1 x d x = 7 3 + ln ⁡ 2  

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