Calcule

∫ 0 1 2 1 1 - x 2 d x

Passo 1

Para fazer essa questão precisamos usar o método chamado de substituição trigonométrica:

Vamos fazer assim, primeiro identificamos uma equação que tenha alguma raíz com essa cara:

a 2 - x 2

E montamos um triângulo tal que o cateto adjacente a um ângulo θ seja a 2 - x 2 e o oposto seja x e a hipotenusa seja a

Pro nosso caso a = 1 , daí substituímos nas seguintes relações:

sin ⁡ θ = x → cos ⁡ θ d θ = d x   e cos ⁡ θ =   1 - x 2

sin - 1 ⁡ 1 2 = π 6   e sin - 1 ⁡ 0 = 0

Assim ficamos com:

∫ 0 1 2 1 1 - x 2 d x = ∫ 0 π 6 1 cos ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = ∫ 0 π 6 d θ

Passo 2

Agora vamos aplicar a integração de polinômio

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

∫ θ n d x = θ n + 1 n + 1

Para ∫ d θ = 3 ∫ θ 0 d θ , n = 0

∫ θ 0 d θ = θ n + 1 n + 1 = θ 0 + 1 0 + 1 = θ 1 1 = θ

∫ 0 π 6 d θ = [ θ ] π 6 0

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F θ uma primitiva de f θ , então:

∫ a b f θ d θ = F b - F a

Assim: θ π 6 0 =

= π 6 - 0 = π 6

Resposta

∫ 0 1 2 1 1 - x 2 d x = π 6

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