Calcule

∫ 0 2 t 2 + 3 t - 1 d t

Passo 1

Podemos reescrever a integral como sendo:

∫ 0 2 t 2 + 3 t - 1 d t = ∫ 0 2 t 2 d t + ∫ 0 2 3 t d t - ∫ 0 1 d t

Passo 2

Agora vamos aplicar a integração de polinômio

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

∫ t n d t = t n + 1 n + 1

Para ∫ t 2 d t , n = 2

∫ t 2 d t = t n + 1 n + 1 = t 2 + 1 2 + 1 = t 3 3

Para ∫ 3 t d t = 3 ∫ t 1 d t , n = 1

3 ∫ t 1 d t = t n + 1 n + 1 = 3 t 1 + 1 1 + 1 = 3 t 2 2 = 3 2 t 2

Para ∫ 1 d t = ∫ t 0 d t , n = 0

∫ t 0 d x = t n + 1 n + 1 = t 0 + 1 0 + 1 = t 1 1 = t

∫ 0 2 t 2 + 3 t - 1 d t =   t 3 3 + 3 2 t 2 - t

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F t uma primitiva de f t , então:

∫ a b f t d t = F b - F a

Assim: t 3 3 + 3 2 t 2 - t 2 0 =

= 2 3 3 + 3 2 2 2 - 2 - 0 3 3 - 3 2 0 2 + 0 = 8 3 + 3 2 × 4 - 2   = 8 3 + 3 × 2 - 2   =

= 8 + 12 3 = 20 3

Resposta

∫ 0 2 t 2 + 3 t - 1 d t = 20 3

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