Calcule

∫ 0 1 2 x 1 + x 2 d x

Passo 1

Vamos fazer a substituição:

u = 1 + x 2 → d u = 2 x d x

u = 1 + 1 2 = 2   e   u = 1 + 0 2 = 1

∫ 1 2 1 u d u

Passo 2

Agora vamos usar que

d ln ⁡ u d u = 1 u → ∫ 1 u d u = ln ⁡ u

Então:

∫ 1 2 1 u d u = [ ln ⁡ u ] 2 1

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F u uma primitiva de f u , então:

∫ a b f u d x = F b - F a

Assim: ln ⁡ u 2 1 = ln ⁡ 2 - ln ⁡ 1

Lembrado que ln ⁡ 1 = 0

ln ⁡ 2 - ln ⁡ 1 = ln ⁡ 2

Resposta

∫ 0 1 2 x 1 + x 2 d x = ln ⁡ 2

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