Calcule

∫ 1 2 s 2 + 3 s + 1 d s

Passo 1

Podemos reescrever a integral como sendo:

∫ 1 2 s 2 + 3 s + 1 d s = ∫ 1 2 s 2 d s + ∫ 1 2 3 s d s + ∫ 1 2 d s

Passo 2

Agora vamos aplicar a integração de polinômio

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

∫ s n d s = s n + 1 n + 1

Para ∫ s 2 d s , n = 2

∫ s 2 d s = s n + 1 n + 1 = s 2 + 1 2 + 1 = s 3 3

Para ∫ 3 s d s = 3 ∫ s 1 d s , n = 1

3 ∫ s 1 d s = 3 s n + 1 n + 1 = 3 s 1 + 1 1 + 1 = 3 s 2 2 = 3 2 s 2

Para ∫ d s = ∫ s 0 d s , n = 0

∫ s 0 d s = s n + 1 n + 1 = s 0 + 1 0 + 1 = s 1 = s

∫ 1 2 s 2 + 3 s + 1 d s =   s 3 3 + 3 2 s 2 + s

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F s uma primitiva de f s , então:

∫ a b f s d s = F b - F a

Assim: s 3 3 + 3 2 s 2 + s 2 1 =

= 2 3 3 + 3 2 2 2 + ( 2 ) - 1 3 3 + 3 2 1 2 + 1 = 8 3 + 3 2 × 4 + 2 - 1 3 + 3 2 + 1 =

= 8 + 18 + 6 3 - 2 + 9 + 6 6 = 32 3 - 17 6 = 64 - 17 6 = 47 6

Resposta

∫ 1 2 s 2 + 3 s + 1 d s = 47 6

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