10. Calcule

l )   ∫ 1 4 - x 2 d x

Passo 1

Podemos perceber que essa integral se assemelha com a integral imediata ∫ 1 1 - x 2 d x =   sin - 1 ⁡ x + k . No entanto, precisamos fazer alguns ajustes.

Primeiro, vamos fazer o termo 4 se tornar o 1.

∫ 1 4 - x 2 d x = ∫ 1 4 4 - x 2 4 d x = 1 4 ∫ 1 4 - x 2 4 d x = 1 2   ∫ 1 1 - x 2 4 d x  

= 1 2   ∫ 1 1 - x 2 2 d x  

Passo 2

Para melhorar, faremos

u = x 2   ⇒ d u = d x 2   ⇒ d x = 2   d u

Substituindo na integral

1 2   ∫ 1 1 - x 2 2 d x   = 1 2   ∫ 1 1 - u 2 2   d u = 2 2 ∫ 1 1 - u 2 d u =   ∫ 1 1 - u 2 d u        

Passo 3

Resolvendo essa integral imediata

∫ 1 1 - u 2 d u = sin - 1 ⁡ u + k =   sin - 1 ⁡ x 2 + k  

Resposta

Logo,

∫ 1 4 - x 2 d x =   sin - 1 ⁡ x 2 + k  

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