Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int (1 + x)/(1 + x^2) d x

Passo 1

Opa, bora resolver essa integral:

int (1 + x)/(1 + x^2) d x

Podemos reescrever essa integral:

int (1)/(1 + x^2) d x + int (x)/(1 + x^2) d x

A primeira integral é uma primitiva imediata e dá a r c t g x , já a segunda não é tão simples de resolver! Então vamos usar uma técnica de integração chamada Regra da Substituição!

u = 1 + x^2

Dica: o melhor u é aquele que simplifica a nossa integral! Além disso a derivada de u deve esta dentro da integral.

(d u)/(d x) = 2 x -> d x = (1)/(2 x) d u

Vamos agora fazer a substuição:

int (x)/(1 + x^2) d x = int (x)/(u) ((1)/(2 x) d u)

= int (1)/(2 u) d u

= (1)/(2) int (1)/(u) d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Vamos integrar:

(1)/(2) int (1)/(u) d u = ln | u | + C = (1)/(2) ln u + C

Voltando a variável original:

int (x)/(1 + x^2) d x = (1)/(2) ln |1 + x^2| + C

Como 1 + x^2 > 0 então podemos tirar o módulo:

int (x)/(1 + x^2) d x = (1)/(2) ln 1 + x^2 + C

Juntando tudo:

int (1 + x)/(1 + x^2) d x = a r c t g x + (1)/(2) ln ( 1 + x^2 ) + C

Prontinho!

Resposta

int (1 + x)/(1 + x^2) d x = a r c t g x + (1)/(2) ln ( 1 + x^2 ) + C

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