1. Calcule

e ) ∫ ln ⁡ x   d x

Passo 1

Aparentemente não sabemos fazer essa integral, mas podemos usar tática para resolvê-la. Podemos dizer o seguinte,

∫ ln ⁡ x   d x =   ∫ 1 ln ⁡ x   d x

Ou seja, agora temos duas funções e podemos usar a integração por partes.

Passo 2

Lembrando que a regra da integração por partes é dada por

∫ u   d v = u v -   ∫ v d u

Onde o u será escolhido de acordo com uma regrinha conhecida como LIATE (Logarítmicas, Inversas de Trigonométricas, Algébrica, Trigonométrica e Exponencial), com essa ordem de preferência. Enquanto que a outra função será o d v .

Passo 3

No nosso caso, pela regrinha de LIATE, a função logarítmica tem preferência para ser u comparada à função algébrica. Assim, derivando u e integrando d v .

u = ln ⁡ x   ⇒ d u = 1 x d x

d v = 1   d x   ⇒ v = x

Passo 4

Substituindo os valores na integração por partes,

∫ u   d v = u v -   ∫ v d u

∫ 1 ln ⁡ x   d x = x ln ⁡ x -   ∫ x   1 x d x    

= x ln ⁡ x -   ∫ 1   d x = x ln ⁡ x - x + k = x ( ln ⁡ x - 1 ) + k

Resposta

Portanto,

∫ ln ⁡ x   d x =   x ( ln ⁡ x - 1 ) + k

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