Calcule.

lim x → 0 ⁺ ⁡ x e 1 x

Passo 1

Vamos lá, aplicando o limite aqui ficamos com a indeterminação ∞ ⋅ 0 , vamos manipular o limite para aplicar L’Hospital:

lim x → 0 ⁺ ⁡ x e 1 x = lim x → 0 ⁺ ⁡ e 1 x 1 x

Vamos então ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra do polinômio e da função exponencial:

x n ' = n x n - 1

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

Aplicando:

e 1 x ' = e 1 x 1 x ' = e 1 x x - 1 ' = e 1 x - 1 x - 1 - 1 = e 1 x - 1 x 2 = - e 1 x x 2

1 x ' = x - 1 ' = - 1 x - 1 - 1 = - 1 x 2

Substituindo no limite:

lim x → 0 ⁺ ⁡ e 1 x 1 x = lim x → 0 ⁺ ⁡ - e 1 x x 2 - 1 x 2 = lim x → 0 ⁺ ⁡ - e 1 x x 2 - x 2 = lim x → 0 ⁺ ⁡ e 1 x = + ∞

Resposta

lim x → 0 ⁺ ⁡ x e 1 x = + ∞

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