Enunciado

Calcule.

int (arctg e^x)/(e^x) d x

Passo 1

Opa! Temos uma integral com o termo e^x dentro de um arcotangente. O que complica a gente é essa função exponencial. Então vamos fazer uma substituição:

u = e^x

d u = e^x d x

Reescrevendo a integral

int (arctg e^x)/(e^x) d x = int (arctg u)/(u^2) d u

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora ficamos com um produto de dois tipos de funções diferentes (arcotangente e polinômio). Essa é dica para gente usar Integração por Partes:

int w d v = w v - int v d w

Temos que:

w = arctg u e d w = (1)/(1 + u^2) d u

d v = (1)/(u^2) d u e v = - (1)/(u)

Substituindo:

int (arctg u)/(u^2) d u = - (arctg u)/(u) - int (- 1)/(u (1 + u^2)) d u = - (arctg u)/(u) + int (1)/(u (1 + u^2)) d u

A gente pode reescrever a integral assim,

= - (arctg u)/(u) + int (1)/(u) - (u)/(u^2 + 1) d u = - (arctg u)/(u) + int (1)/(u) d u + int - (u)/(u^2 + 1) d u

Agora vamos integrar os dois separadamente!

Passo 3

É fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln x + C

Assim vamos ficar com:

int (1)/(u) d u = ln |u| + C

Com a segunda vamos fazer uma substituição:

t = u^2 + 1

d t = 2 u d u

Vamos substituir agora:

int - (u)/(u^2 + 1) d u = int - (1)/(2 t) d t = - (1)/(2) int (1)/(t) d t = - (1)/(2) ln |t| + C

Passo 4

Vamos agora juntar tudo:

int (arctg u)/(u^2) d u = - (arctg u)/(u) + int (1)/(u) d u + int - (u)/(u^2 + 1) d u = - (arctg u)/(u) + ln |u| - (1)/(2) ln |t| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (arctg u)/(u^2) d u = - (arctg e^x)/(e^x) + ln |e^x| - (1)/(2) ln |e^x^2 + 1| + C

Resposta

int (arctg e^x)/(e^x) d x = - (arctg e^x)/(e^x) + ln |e^x| - (1)/(2) ln |e^x^2 + 1| + C

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