Enunciado

  1. Determine A , B , C , D tais que
  2. (x - 3)/((x - 1)^2 (x + 2)^2) = (A)/(x - 1) + (B)/((x - 1)^2) + (C)/(x + 2) + (D)/((x + 2)^2)

  3. Calcule int (x - 3)/((x - 1)^2 (x + 2)^2) d x .

Passo 1

  1. Vamos achar os valores de A , B , C e D , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores (x + 2) (x - 1)^2 :
  2. x - 3 = A (x - 1) (x + 2)^2 + B (x + 2)^2 + C (x - 1)^2 (x + 2) + D (x - 1)^2

    Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

    x - 3 = A (x - 1) (x + 2)^2 + B (x + 2)^2 + C (x - 1)^2 (x + 2) + D (x - 1)^2

    x - 3 = A (x - 1) (x^2 + 4 x + 4) + B (x^2 + 4 x + 4) + C (x^2 - 2 x + 1) (x + 2) + D (x^2 - 2 x + 1)

    x - 3 = A (x^3 + 4 x^2 + 4 x - x^2 - 4 x - 4) + B x^2 + 4 B x + 4 B + C (x^3 - 2 x^2 + x + 2 x^2 - 4 x + 2) + D x^2 - 2 D x + D

    x - 3 = A (x^3 + 3 x^2 - 4) + B x^2 + 4 B x + 4 B + C (x^3 - 3 x + 2) + D x^2 - 2 D x + D

    x - 3 = A x^3 + 3 A x^2 - 4 A + B x^2 + 4 B x + 4 B + C x^3 - 3 C x + 2 C + D x^2 - 2 D x + D

    x - 3 = x^3 (A + C) + x^2 (3 A + B + D) + x (4 B - 3 C - 2 D) + (- 4 A + 4 B + 2 C + D)

    Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x^3 , x^2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

    {[[A + C = 0 -> A = - C],[3 A + B + D = 0],[4 B - 3 C - 2 D = 1],[- 4 A + 4 B + 2 C + D = - 3]])

    Usando o A isolado na primeira e substituindo nas outras, ficamos com:

    {[[A = - C],[- 3 C + B + D = 0],[4 B - 3 C - 2 D = 1],[+ 4 C + 4 B + 2 C + D = - 3 -> 6 C + 4 B + D = - 3]]) -> {[[A = - C],[B - 3 C + D = 0],[4 B - 3 C - 2 D = 1],[4 B + 6 C + D = - 3]])

    Agora vamos somar as três últimas:

    9 B = - 2 -> B = - (2)/(9)

    Multiplicando a segunda por - 1 e somando com a terceira:

    3 B - 3 D = 1 -> 3 D = 3 (- (2)/(9)) - 1 -> 3 D = - (2)/(3) - 1 -> 3 D = - (5)/(3) -> D = - (5)/(9)

    Agora vamos substituir o valor de B E D na segunda:

    - (2)/(9) - 3 C - (5)/(9) = 0 -> 3 C = - (7)/(9) -> C = - (7)/(27)

    Por último, para achar o valor de A :

    A = - C = - (- (7)/(27)) = (7)/(27)

    Pronto, achamos os valores de A , B , C e D .

    Passo 2

  3. Para calcular a integral vamos usar as frações parciais que achamos no passo anterior:

int (x - 3)/((x - 1)^2 (x + 2)^2) d x = int ((7)/(27))/(x - 1) + (- (2)/(9))/((x - 1)^2) + (- (7)/(27))/(x + 2) + (- (5)/(9))/((x + 2)^2) d x = int (7)/(27 (x - 1)) - (2)/(9 (x - 1)^2) - (7)/(27 (x + 2)) - (5)/(9 (x + 2)^2) d x = int (7)/(27 (x - 1)) d x + int - (2)/(9 (x - 1)^2) d x + int - (7)/(27 (x + 2)) d x + int - (5)/(9 (x + 2)^2) d x

Pronto, agora vamos resolver as quatro integrais separadamente.

Com a primeira vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

u = x - 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (7)/(27 (x - 1)) d x = (7)/(27) int (1)/((x - 1)) d x = (7)/(27) int (1)/(u) d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

(7)/(27) int (1)/(u) d u = (7)/(27) ln |u| + C

Passo 2

Com a segunda vamos usar a Regra da Substituição também:

v = x - 1

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int - (2)/(9 (x - 1)^2) d x = - (2)/(9) int (1)/((x - 1)^2) d x = - (2)/(9) int (1)/(v^2) d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Aplicando:

- (2)/(9) int (1)/(v^2) d v = - (2)/(9) int v^(- 2) d v = - (2)/(9) * (v^(- 2 + 1))/(- 2 + 1) + C = - (2)/(9) * (v^(- 1))/(- 1) + C = (2)/(9 v) + C

Passo 3

E com a terceira vamos usar a Regra da Substituição também:

t = x + 2

Vamos agora achar diferencial de t , derivando:

d t = 1 + 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int - (7)/(27 (x + 2)) d x = - (7)/(27) int (1)/((x + 2)) d x = - (7)/(27) int (1)/(t) d t

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

- (7)/(27) int (1)/(t) d t = - (7)/(27) ln |t| + C

Passo 4

Com a última vamos usar a Regra da Substituição também:

r = x + 2

Vamos agora achar diferencial de r , derivando:

d r = 1 + 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int - (5)/(9 (x + 2)^2) d x = - (5)/(9) int (1)/((x + 2)^2) d x = - (5)/(9) int (1)/(r^2) d r

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Aplicando:

- (5)/(9) int (1)/(r^2) d r = - (5)/(9) int r^(- 2) r = - (5)/(9) * (r^(- 2 + 1))/(- 2 + 1) + C = - (5)/(9) * (r^(- 1))/(- 1) + C = (5)/(9 r) + C

Passo 5

Agora é só juntar tudo:

int (x - 3)/((x - 1)^2 (x + 2)^2) d x = int (7)/(27 (x - 1)) d x + int - (2)/(9 (x - 1)^2) d x + int - (7)/(27 (x + 2)) d x + int - (5)/(9 (x + 2)^2) d x = (7)/(27) ln |u| + (2)/(9 v) - (7)/(27) ln |t| + (5)/(9 r) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (x - 3)/((x - 1)^2 (x + 2)^2) d x = (7)/(27) ln |u| + (2)/(9 v) - (7)/(27) ln |t| + (5)/(9 r) + C = (7)/(27) ln |x - 1| + (2)/(9 (x - 1)) - (7)/(27) ln |x + 2| + (5)/(9 (x + 2)) + C

Resposta

int (x - 3)/((x - 1)^2 (x + 2)^2) d x = - 2 ln |x| + (2)/(3) ln |x - 2| + (4)/(3) ln |x + 1| + C

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