Enunciado

Calcule a integral

int (e^t d t)/(e^(2 t) + 3 e^t + 2)

Passo 1

Queremos resolver essa integral e para isso, vamos inicialmente fazer uma substituição simples de modo a torna a integral mais amigável, assim, tomemos

e^t = u -> (d u)/(d t) = e^t -> d u = e^t d t

int (d u)/(u^2 + 3 u + 2)

Passo 2

Agora, podemos fatorar o denominador utilizando Bhaskara ou soma e produto de modo a obtermos

u^2 + 3 u + 2 = (u + 1) * (u + 2)

Então, podemos escrever nossa integral da seguinte forma

int (d u)/((u + 1) * (u + 2))

Utilizando o método de frações parciais, vamos tentar reescrever a integral com um formato mais agradável, dessa forma teremos

(1)/((u + 1) * (u + 2)) = (A)/(u + 1) + (B)/(u + 2)

(1)/((u + 1) * (u + 2)) = (A * (u + 2) + B * ( u + 1 ))/(( u + 1 ) * ( u + 2 ))

(1)/((u + 1) * (u + 2)) = (u * (A + B) + ( 2 A + B ))/(( u + 1 ) * ( u + 2 ))

Comparando-se os lados esquerdos com o direito, chegaremos no seguinte sistema linear

{[[A,+,B,=,0],[2,A,+,B,=,1]])

-> B = - A

Substituindo na segunda equação, vamos obter

2 A - A = 1 A = 1 e B = - 1

Por fim, reescrevendo nossa integral vamos ter

int (1)/(u + 1) - (1)/(u + 2) d u

Passo 3

Finalmente, podemos lembrar que a integral da soma/subtração é a soma/subtração das integrais e, assim, podemos calcular as integrais separadamente e juntar os resultados no final

(i) int (d u)/(u + 1) =

u + 1 = k -> d k = d u

int (d k)/(k) = ln |k| + C = ln |u + 1| + C

Retornando a variável t obteremos

ln |e^t + 1| + C

Para a segunda integral o cálculo é similar com a diferença que o número que soma, nesse caso, é o 2 .

(i i) - int (d u)/(u + 2) = - ln | e^t + 2 | + C

Resposta

ln |e^t + 1| - ln | e^t + 2 | + C

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