Calcule

dy/dx = -2y + cos(2x), t > 0

Passo 1

Por Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem entendemos uma equação do tipo:

d y d x = y g x + f x

Teremos esse resultado:

y = k e ∫ g x d x + e ∫ g x d x ∫ f x e - ∫ g x d x d x k ∈ R

Para isso precisamos achar um fator integrante e multiplicar dos dois lados, sendo um o lado que tem apenas os termos com y e o outro lado o f x , o fator integrante será:

e - ∫ g x d x

Para o nosso caso o fator integrante será:

e - ∫ - 2 d x = e 2 x

Assim fazemos:

d y d x - y g x = f x

d y d x - y g x e - ∫ g x d x = f x e - ∫ g x d x

Vemos que d y d x - y g x e - ∫ g x d x nada mais é que uma derivada do produto do tipo:

d y e - ∫ g x d x d x = d y d x - y g x e - ∫ g x d x

Assim:

d y e - ∫ g x d x d x = f x e - ∫ g x d x

Agora faremos integral dos dois lados:

∫ d y e - ∫ g x d x d x d t = ∫ f x e - ∫ g x d x d x

y e - ∫ g x d x + k = ∫ f x e - ∫ g x d x d x

Como k é uma contante, tanto faz o sinal que colocamos:

y e - ∫ g x d x = ∫ f x e - ∫ g x d x d x + k

Por fim:

y = k e ∫ g x d x + e ∫ g x d x ∫ f x e - ∫ g x d x d x ,   k ∈ R

Para o e ∫ g x d x , teremos:

e ∫ - 2 d x = e - 2 x

Então, para o nosso caso teremos:

y = k e - 2 x + e - 2 x ∫ cos ⁡ 2 x e 2 x d x

Passo 2

Vamos ficar com:

y = k e - 2 x + e - 2 x ∫ cos ⁡ 2 x e 2 x d x

Vamos fazer a substituição u = 2 x → d u = 2 d x

y = k e - 2 x + e - 2 x 1 2 ∫ cos ⁡ u e u d u

Pra resolver a integral, vamos usar integração por partes:

∫ cos ⁡ u e u d u = e u sin ⁡ u - ∫ sin ⁡ u e u d u

Pra resolver essa segunda integral também usaremos integração por partes:

∫ sin ⁡ u e u d u = - e u cos ⁡ u + ∫ cos ⁡ u e u d u

Substituindo:

∫ cos ⁡ u e u d u = e u sin ⁡ u - - e u cos ⁡ u + ∫ cos ⁡ u e u d u =

∫ cos ⁡ u e u d u = e u sin ⁡ u + e u cos ⁡ u - ∫ cos ⁡ u e u d u

Temos o termo ∫ cos ⁡ u e u d u dos dois lados, vamos ficar com:

∫ cos ⁡ u e u d u + ∫ cos ⁡ u e u d u = e u sin ⁡ u + e u cos ⁡ u

2 ∫ cos ⁡ u e u d u = e u sin ⁡ u + e u cos ⁡ u

∫ cos ⁡ u e u d u = 1 2 e u sin ⁡ u + e u cos ⁡ u

Podemos voltar agora pra variável x :

∫ cos ⁡ 2 x e 2 x d x = 1 2 e 2 x sin ⁡ 2 x + e 2 x cos ⁡ 2 x

Voltamos pra função y :

y = k e - 2 x + e - 2 x × 1 2 1 2 e 2 x sin ⁡ 2 x + e 2 x cos ⁡ 2 x

y = k e - 2 x + 1 4 sin ⁡ 2 x + cos ⁡ 2 x

Assim:

y = k e - 2 x + 1 4 sin ⁡ 2 x + cos ⁡ 2 x

Resposta

y = k e - 2 x + 1 4 sin ⁡ 2 x + cos ⁡ 2 x

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