Calcule:

∫ 2 x + 1 x 2 - 1 d x

Passo 1

Para resolvermos essa questão usaremos o seguinte teorema e, também, método de resolução de integrais, muito conhecido como Frações Parciais:

Sejam α ,   β ,   m   e   n reais dados, com α ≠ β . Então existem constantes A   e   B tais que:

a )   m x + n ( x - α ) ( x - β ) = A ( x - α ) + B ( x - β ) ;

b ) m x + n x - α 2 = A ( x - α ) + B x - α 2 .

Atenção: o Teorema só é válido para quando o grau do numerador é MENOR do que o grau do denominador!!!

Para resolver nossa questão, precisaremos lembrar de uma grande técnica algébrica que vai nos ajudar MUITO em questões que envolvam integrais que é a seguinte:

a 2 - b 2 = a + b ( a - b )

Portanto, como temos x 2 - 1 = ( x + 1 ) ( x - 1 ) .

Então, nossa integral pode ser reescrita como:

∫ 2 x + 1 x 2 - 1 d x = ∫ 2 x + 1 ( x + 1 ) ( x - 1 ) d x

Agora, podemos aplicar o teorema:

2 x + 1 x + 1 x - 1 = A ( x + 1 ) + B ( x - 1 )

Aplicando o MMC, passamos a ter:

2 x + 1 x + 1 x - 1 = A x - 1 + B ( x + 1 ) ( x + 1 ) ( x - 1 )

Como temos uma igualdade com denominadores iguais, vamos analisar, por comparação, apenas os numeradores:

2 x + 1 = A x - 1 + B ( x + 1 )

Vamos ditar valores para x para que consigamos zerar uma constante e trabalhar com apenas uma incógnita:

Para x = 1 :

2 B = 3

B = 3 2

Para x = - 1 :

- 2 A = - 1

A = 1 2

Então, por fim, podemos reescrever nossa integral final como sendo:

∫ 2 x + 1 x 2 - 1 d x = ∫ 1 2 ( x + 1 ) d x + ∫ 3 2 ( x - 1 ) d x

Passo 2

Vamos resolver separadamente as integrais:

E q . 1 = ∫ 1 2 ( x + 1 ) d x

E q . 2 = ∫ 3 2 ( x - 1 ) d x

Lembrando:

∫ 1 m x + n d x = 1 m l n | m x + n |

Será resolvida da seguinte forma a Eq.1:

∫ 1 2 ( x + 1 ) d x = 1 2 ∫ 1 ( x + 1 ) d x

∫ 1 2 ( x + 1 ) d x = 1 2 ln ⁡ x + 1 + C 1

Agora, vamos resolver nossa Eq.2:

∫ 3 2 ( x - 1 ) d x = 1 2 ∫ 3 ( x - 1 ) d x

∫ 3 2 ( x - 1 ) d x = 3 2 ln ⁡ x - 1 + C 2

Vamos somar Eq.1+Eq.2 para obter nossa solução:

E q . 1 + E q . 2 = 1 2 ln ⁡ x + 1 + C 1 + 3 2 ln ⁡ x - 1 + C 2

Vamos adotar: C 1 + C 2 = C , sendo C uma constante real.

Logo, por fim:

∫ 2 x + 1 x 2 - 1 d x = 1 2 ( 3  ln ⁡ x - 1 + ln ⁡ x + 1 ) + C

Resposta

∫ 2 x + 1 x 2 - 1 d x = 1 2 ( 3  ln ⁡ x - 1 + ln ⁡ x + 1 ) + C

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