∫ x 2 - 4 x - 4 x 3 - 2 x 2 + 4 x - 8 d x

Passo 1

Vamos arranjar a equação de forma mais conveniente para resolver as frações parcias. Esse passo é feito manipulando as funções, fazendo que ela fique de forma mais agradável para gente, geralmente usamos as raízes para reescrever as equações.

∫ x 2 - 4 x - 4 ( x - 2 ) ( x 2 + 4 ) d x

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

x 2 - 4 x - 4 ( x - 2 ) ( x 2 + 4 ) = A 2 x + B ( x 2 + 4 ) + C ( x - 2 )

Isolando   x 2 - 4 x - 4 , vamos achar

x 2 - 4 x - 4 = ( A 2 x + B ) ( x - 2 ) + C ( x 2 + 4 )

Resolvendo o sistema de equações acima, temos:

A = 4 5 ;                     B = - 16 5 ;                     C = - 3 5 ;

Agora substituindo os valores de A e B temos:

x 2 - 4 x - 4 ( x - 2 ) ( x 2 + 4 ) = 4 5 2 x - 16 5 ( x 2 + 4 ) + - 3 5 ( x - 2 )

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

∫ x 2 - 4 x - 4 ( x - 2 ) ( x 2 + 4 ) d x = ∫ 4 5 2 x - 16 5 ( x 2 + 4 ) d x + ∫ - 3 5 ( x - 2 ) d x    

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

Resposta

∫ x 2 - 4 x - 4 x 3 - 2 x 2 + 4 x - 8 d x = - l n 2   -   x +   l n 4   +   x 2 + c

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