Calcule

Passo 1

Observando o conjunto B deseja-se calcular a integral dupla através da mudança de variável. Lembrando que, pelo teorema de Fubini:

∫ ∫ B f x ,   y d x d y

Ou:

∫ a b ∫ c y d y f x ,   y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x f x ,   y d y d x

Neste caso, B é dado no enunciado como um triângulo e, logo, fazendo:

u = y - x

v = 1 + y + x

Ou ainda:

x = v - u - 1 2

y = v + u - 1 2

Pretende-se determinar o resultado da transformação dada por:

d x d y = ∂ x ,   y ∂ u ,   v d u d v

Então:

∂ x ,   y ∂ u ,   v = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v = - 1 2 1 2 1 2 1 2 = - 1 4 - 1 4 = - 1 2

∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ = 1 2

Portanto:

d x d y = 1 2 d u d v

Passo 2

Agora, deve se determinar o conjunto B ρ θ , onde B = φ B ρ θ . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original. Visto que B é um triângulo dada pelo esboço:

Limitado pelas equações x + y = 1 , x = 0 e y = 0 , tem-se que elas transformam as equações:

Quando x = 0 → 0 = v - u - 1 2 →   u = v - 1

Quando y = 0 → 0 = v + u - 1 2 → u = 1 - v

Quando x + y = 1 → v - u - 1 2 + v + u - 1 2 = 1 →   v = 2

Vamos colocar isso no gráfico?

Dessa forma:

1 ≤ v ≤ 2

E

1 - v ≤ u ≤ v - 1

Dessa forma, tem-se:

B u v = u ,   v ∈ R 2 | 1 ≤ v ≤ 2   e   1 - v ≤ u ≤ v - 1

Passo 3

Logo, mudando a variável na integral dupla:

∫ ∫ B y - x 3 1 + y + x   d x d y = ∫ ∫ B ρ θ u 3 v 1 2 d u d v

= 1 2 ∫ 1 2 1 v ∫ 1 - v v - 1 u 3 d u d v

Logo:

= 1 2 ∫ 1 2 1 v 3 4 u 4 / 3 | v - 1 1 - v d v

Substituindo o intervalo de integração:

= 3 8 ∫ 1 2 1 v v - 1 4 / 3 - 1 - v 4 / 3 d v

Passo 4

Agora vem o pulo do gato:

1 - v 4 / 3 = - 1 v - 1 4 / 3 = - 1 4 / 3 v - 1 4 / 3

Só que:

- 1 4 3 = - 1 4 3 = 1

Portanto:

= 3 8 ∫ 1 2 1 v v - 1 4 3 - v - 1 4 3 d v

= 0

Resposta

0

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