Enunciado

Calcule

Passo 1

Observando o conjunto B deseja-se calcular a integral dupla através da mudança de variável. Lembrando que, pelo teorema de Fubini:

int int_B f (x , y) d x d y

Ou:

int_a^b [int_(c (y))^(d (y)) f (x , y) d x] d y = int_c^d [int_(a (x))^(b (x)) f (x , y) d y] d x

Neste caso, B é dado no enunciado como um quadrado e pode ser resolvido através de coordenadas polares na mudança de variável. Então, fazendo:

x = rho c o s theta

y = rho s e n theta

Pretende-se determinar o resultado da transformação:

(x , y) = phi (rho , theta)

Dada por:

d x d y = |(del (x , y))/(del (rho , theta))| d rho d theta

Então:

(del (x , y))/(del (rho , theta)) = |[[(del x)/(del rho),(del x)/(del theta)],[(del y)/(del rho),(del y)/(del theta)]]| = |[[c,o,s,theta,-,rho,s,e,n,theta],[s,e,n,theta,rho,c,o,s,theta]]| = rho (c o s^2 theta + s e n^2 theta) = rho

|(del (x , y))/(del (rho , theta))| = rho

Portanto:

d x d y = rho d rho d theta

Passo 2

Agora, deve se determinar o conjunto B_rho theta , onde B = phi (B_rho theta) . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original. A partir de B , as novas variáveis serão dadas por:

Quando x = 0 -> rho = 0

Quando x = 1 -> rho = (1)/(c o s theta)

Quando y = 0 -> rho = 0

Quando y = 1 -> rho = (1)/(s e n theta)

Ou seja, haverão duas integrais sendo cada uma para cada intervalo de rho .

E, para o intervalo relacionado à variável x :

0 <= theta <= (pi)/(4)

Já para o intervalo relacionado à variável y :

(pi)/(4) <= theta <= (pi)/(2)

Dessa forma, tem-se:

B_rho theta = {(rho , theta) in R^2 | 0 <= rho <= (1)/(c o s theta) e 0 <= theta <= (pi)/(4) , 0 <= rho <= (1)/(s e n theta) e (pi)/(4) <= theta <= (pi)/(2)}

Passo 3

Logo, mudando a variável na integral dupla:

int int_B sqrt(x^2 + y^2) d x d y = int int_B_rho theta (sqrt(rho^2 c o s^2 theta + rho^2 s e n^2 theta)) rho d rho d theta

= int_0^(pi // 4) [int_0^(1 // c o s theta) rho^2 d rho] d theta + int_(pi // 4)^(pi // 2) [int_0^(1 // s e n theta) rho^2 d rho] d theta

E, resolvendo-a:

= int_0^(pi // 4) [(rho^3)/(3)] | [[(1)/(c o s theta)],[0]] d theta + int_(pi // 4)^(pi // 2) [(rho^3)/(3)] | [[(1)/(s e n theta)],[0]] d theta

Substituindo o intervalo de integração:

= int_0^(pi // 4) [(1)/(3 c o s^3 theta)] d theta + int_(pi // 4)^(pi // 2) [(1)/(3 s e n^3 theta)] d theta

= (1)/(3) {int_0^(pi // 4) [s e c^3 theta] d theta + int_(pi // 4)^(pi // 2) [c o s s e c^3 theta] d theta}

Passo 4

Para ambos os termos, utiliza-se o método da integral por partes, tal que para o primeiro:

u = s e c theta e d v = s e c^2 theta d theta -> d u = s e c theta t g theta d theta e v = t g theta

E para o segundo:

w = c o s s e c theta e d z = c o s s e c^2 theta d theta -> d w = - c o s s e c theta c o t g theta d theta e z = - c o t g theta

Lembrando que o método é dado por:

int u d v = u v - int v d u

Então:

int s e c^3 theta d theta = s e c theta t g theta - int t g theta (s e c theta t g theta) d theta = s e c theta t g theta - int s e c theta (s e c^2 theta - 1) d theta

int s e c^3 theta d theta = s e c theta t g theta - int (s e c^3 theta - s e c theta) d theta

Assim:

2 int s e c^3 theta d theta = s e c theta t g theta + int s e c theta d theta

int s e c^3 theta d theta = (1)/(2) [s e c theta t g theta + ln |s e c theta + t g theta|]

Similarmente, o segundo termo:

int c o s s e c^3 theta d theta = - c o s s e c theta c o t g theta - int c o t g theta (c o s s e c theta c o t g theta) d theta

int c o s s e c^3 theta d theta = - c o s s e c theta c o t g theta - int c o s s e c theta (c o s s e c^2 theta - 1) d theta

int c o s s e c^3 theta d theta = - c o s s e c theta c o t g theta - int (c o s s e c^3 theta - c o s s e c theta) d theta

Assim:

2 int c o s s e c^3 theta d theta = - c o s s e c theta c o t g theta + int c o s s e c theta d theta

int c o s s e c^3 theta d theta = (1)/(2) [- c o s s e c theta c o t g theta + ln |c o s s e c theta - c o t g theta|]

Então, substituindo na integral inicial:

= (1)/(3) {(1)/(2) [s e c theta t g theta + ln |s e c theta + t g theta|] | [[pi,//,4],[0]] + (1)/(2) [- c o s s e c theta c o t g theta + ln |c o s s e c theta - c o t g theta|] | [[pi,//,2],[pi,//,4]]}

Substituindo o intervalo de integração:

= (1)/(6) {[sec ((pi)/(4)) + ln |sec ((pi)/(4)) + 1| - ln |sec (0)|] + [c o s s e c ((pi)/(4)) - ln |c o s s e c ((pi)/(4)) - 1|]}

= (1)/(6) [sqrt(2) + ln |1 + sqrt(2)| + sqrt(2) - ln |sqrt(2) - 1|]

= (1)/(6) [sqrt(2) + ln (1 + sqrt(2)) + sqrt(2) - ln (sqrt(2) - 1)]

Como ln (1 + sqrt(2)) = - ln (sqrt(2) - 1) :

= (1)/(6) [2 sqrt(2) + 2 ln (1 + sqrt(2))] = (1)/(3) [sqrt(2) + ln (1 + sqrt(2))]

Resposta

(1)/(3) [sqrt(2) + ln (1 + sqrt(2))]

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