Calcule

Passo 1

Observando o conjunto B deseja-se calcular a integral dupla através da mudança de variável. Lembrando que, pelo teorema de Fubini:

∫ ∫ B f x ,   y d x d y

Ou:

∫ a b ∫ c y d y f x ,   y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x f x ,   y d y d x

Neste caso, B é dado no enunciado como um quadrado e pode ser resolvido através de coordenadas polares na mudança de variável. Então, fazendo:

x = ρ c o s θ

y = ρ s e n θ

Pretende-se determinar o resultado da transformação:

x ,   y = φ ρ ,   θ

Dada por:

d x d y = ∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ d ρ d θ

Então:

∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ = ∂ x ∂ ρ ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ ρ ∂ y ∂ θ = c o s θ - ρ s e n θ s e n θ ρ c o s θ = ρ c o s 2 θ + s e n 2 θ = ρ

∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ = ρ

Portanto:

d x d y = ρ d ρ d θ

Passo 2

Agora, deve se determinar o conjunto B ρ θ , onde B = φ B ρ θ . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original. A partir de B , as novas variáveis serão dadas por:

Quando x = 0 → ρ = 0

Quando x = 1 → ρ = 1 c o s θ

Quando y = 0 → ρ = 0

Quando y = 1 → ρ = 1 s e n θ

Ou seja, haverão duas integrais sendo cada uma para cada intervalo de ρ .

E, para o intervalo relacionado à variável x :

0 ≤ θ ≤ π 4

Já para o intervalo relacionado à variável y :

π 4 ≤ θ ≤ π 2

Dessa forma, tem-se:

B ρ θ = ρ ,   θ ∈ R 2 | 0 ≤ ρ ≤ 1 c o s θ   e   0 ≤ θ ≤ π 4 ,   0 ≤ ρ ≤ 1 s e n θ   e π 4 ≤ θ ≤ π 2

Passo 3

Logo, mudando a variável na integral dupla:

∫ ∫ B x 2 + y 2   d x d y = ∫ ∫ B ρ θ ρ 2 c o s 2 θ + ρ 2 s e n 2 θ ρ d ρ d θ

= ∫ 0 π / 4 ∫ 0 1 / c o s θ ρ 2 d ρ d θ + ∫ π / 4 π / 2 ∫ 0 1 / s e n θ ρ 2 d ρ d θ

E, resolvendo-a:

= ∫ 0 π / 4 ρ 3 3 | 1 c o s θ 0 d θ + ∫ π / 4 π / 2 ρ 3 3 | 1 s e n θ 0 d θ

Substituindo o intervalo de integração:

= ∫ 0 π / 4 1 3 c o s 3 θ d θ + ∫ π / 4 π / 2 1 3 s e n 3 θ d θ

= 1 3 ∫ 0 π / 4 s e c 3 θ d θ + ∫ π / 4 π / 2 c o s s e c 3 θ d θ

Passo 4

Para ambos os termos, utiliza-se o método da integral por partes, tal que para o primeiro:

u = s e c θ e d v = s e c 2 θ d θ → d u = s e c θ   t g θ d θ e v = t g θ

E para o segundo:

w = c o s s e c θ e d z = c o s s e c 2 θ d θ → d w = - c o s s e c θ   c o t g θ d θ e z = - c o t g θ

Lembrando que o método é dado por:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Então:

∫ s e c 3 θ d θ = s e c θ t g θ - ∫ t g θ s e c θ t g θ d θ = s e c θ t g θ - ∫ s e c θ s e c 2 θ - 1 d θ

∫ s e c 3 θ d θ = s e c θ t g θ - ∫ s e c 3 θ - s e c θ d θ

Assim:

2 ∫ s e c 3 θ d θ = s e c θ t g θ + ∫ s e c θ d θ

∫ s e c 3 θ d θ = 1 2 s e c θ t g θ + ln ⁡ s e c θ + t g θ

Similarmente, o segundo termo:

∫ c o s s e c 3 θ d θ = - c o s s e c θ c o t g θ - ∫ c o t g θ c o s s e c θ c o t g θ d θ

∫ c o s s e c 3 θ d θ = - c o s s e c θ c o t g θ - ∫ c o s s e c θ c o s s e c 2 θ - 1 d θ

∫ c o s s e c 3 θ d θ = - c o s s e c θ c o t g θ - ∫ c o s s e c 3 θ - c o s s e c θ d θ

Assim:

2 ∫ c o s s e c 3 θ d θ = - c o s s e c θ c o t g θ + ∫ c o s s e c θ d θ

∫ c o s s e c 3 θ d θ = 1 2 - c o s s e c θ c o t g θ + ln ⁡ c o s s e c θ - c o t g θ

Então, substituindo na integral inicial:

= 1 3 1 2 s e c θ t g θ + ln ⁡ s e c θ + t g θ | π / 4 0 + 1 2 - c o s s e c θ c o t g θ + ln ⁡ c o s s e c θ - c o t g θ | π / 2 π / 4

Substituindo o intervalo de integração:

= 1 6 sec ⁡ π 4 + ln ⁡ sec ⁡ π 4 + 1 - ln ⁡ sec ⁡ 0 + c o s s e c π 4 - ln ⁡ c o s s e c π 4 - 1

= 1 6 2 + ln ⁡ 1 + 2 + 2 - ln ⁡ 2 - 1

= 1 6 2 + ln ⁡ 1 + 2 + 2 - ln ⁡ 2 - 1

Como ln ⁡ 1 + 2 = - ln ⁡ 2 - 1 :

= 1 6 2 2 + 2 ln ⁡ 1 + 2 = 1 3 2 + ln ⁡ 1 + 2

Resposta

1 3 2 + ln ⁡ 1 + 2

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