Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.8 - Ex. 18
Calcule
Onde é a curva , . (Sugestão: observe que está na superfície )
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Vamos reescrever essa integral como o produto escalar entre um vetor e um diferencial :
Beleza! Agora vou usar o outro lado do Teorema de Stokes:
Então agora nosso próximo passo é determinar o rotacional do campo .
Passo 2
Assim o rotacional de é:
Fazendo as derivadas parciais vamos ter:
Passo 3
Agora precisamos de um vetor normal à superfície . A curva está na superfície , então é essa a superfície que queremos.
A função é:
E o vetor normal à superfície é:
Aplicando na função temos:
Passo 4
Quase lá! Agora vamos calcular o integrando :
E a região de integração? Bom, olhando para a curva , no plano , vemos que a região é um círculo de raio . Então uma parametrização é:
Com entre e entre .
E o diferencial de área é
O integrando nas novas variáveis é:
Pronto! Agora que temos o integrando e a região de integração, podemos calcular a integral!
Passo 5
Resgatando do passo :
Integrando com respeito a temos:
Agora olhando uma tabela de integrais temos:
Os dois primeiros termos do lado direito são nulos, pois a função é zero em ambos os extremos. Então ficamos só com o último termo:
Assim temos: