Enunciado

Resolva o problema de contorno, se possível.

y^(' ') + 4 y^' + 13 y = 0 , y (0) = 2 , y (pi // 2) = 1

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e é homogênea, ou seja, o lado direito da equação é zero. Com isso, vamos supor uma solução do tipo:

y (x) = A e^(k x)

O processo para determinar k é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. E depois aplicar as condições iniciais e determinar as constantes =)

Vamos lá?

Passo 2

Como primeiro passo, vamos supor uma solução do tipo:

y (x) = A e^(k x)

As derivadas de primeira e segunda ordem:

y^' (x) = A k e^(k x)

y^(' ') (x) = A k^2 e^(k x)

Agora vamos substituir na equação diferencial:

k^2 A e^(k x) + 4 k A e^(k x) + 13 A e^(k x) = 0

Dividindo essa equação por A e^(k x) temos:

k^2 + 4 k + 13 = 0

Essa é a famosa equação característica, responsável por determinar se a solução vai ser exponencial pura, um polinômio ou até mesmo uma solução oscilatória. Tudo isso depende das raízes dessa equação.

Passo 3

Para resolver essa equação vou usar a fórmula de Bháskara:

k = (- ( 4 ) +- sqrt(( 4 )^2 - 4.1 . 13))/(2.1)

k = - 2 +- 3 i

As raízes são complexas do tipo k = alpha +- beta i e assim a solução é:

y (x) = e^(alpha x) [c_1 cos (beta x) + c_2 s e n (beta x)]

Beleza? Aqui achamos alpha = - 2 e beta = 3 . Vamos substituir os valores encontrados?

y (x) = e^(- 2 x) [c_1 cos (3 x) + c_2 s e n (3 x)]

Show! Agora vamos aplicar as condições iniciais?

Bora lá!

Passo 4

As duas condições de contorno são:

y (0) = 2

y (pi // 2) = 1

A primeira condição de contorno nos diz que y (0) = 2 . Aplicando na solução do passo 3 temos:

y (0) = e^0 [c_1 cos (0) + c_2 s e n (0)] = 2

Sendo assim temos:

[c_1 . 1 + c_2 . 0] = 2

Dalí tiramos o valor de c_1 :

c_1 = 2

A segunda condição de contorno é em outro ponto da solução. Então temos:

y (pi // 2) = e^(- pi // 2) [c_1 cos (pi // 2) + c_2 s e n (pi // 2)] = 1

- c_2 e^(- pi // 2) = 1

Assim podemos determinar o valor de c_2 :

c_2 = - e^(- pi // 2)

Sim! Esse problema de contorno tem solução e juntando as constantes com a solução do passo 3 temos:

y (x) = e^(- 2 x) [2 cos (3 x) - e^(- (pi)/(2)) s e n (3 x)]

Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

y (x) = e^(- 2 x) [2 cos (3 x) - e^(- (pi)/(2)) s e n (3 x)]

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