Enunciado

Seja T ( t ) a temperatura (em ° C ) em Seul t horas após o meio-dia em 21 de agosto de 2004 . A tabela mostra os valores dessa função registrados de duas em duas horas. Qual o significado de T ‘ ( 6 ) ? Estime o seu valor.

Passo 1

E aí pessoal, tudo bom? Vamos para mais uma questão sobre derivadas! Aqui trabalharemos um pouco com interpretação e vamos ver como podemos aproximar uma derivada através de uma tabela.

Primeiramente, nos é perguntado o significado de T ' ( 6 ) . Sabemos que esse valor se trata de uma derivada – ele representa uma taxa de variação, mas qual?

Como T representa a temperatura em ° C e t o tempo em horas, teremos que T ' ( 6 ) é a taxa de variação que representa como a temperatura está variando de acordo com o tempo após as 18 horas da noite. Ah, e fica atento: a unidade dessa derivada é ° C / h o r a , tranquilo? Bora prosseguir!

Passo 2

Para estimar o valor de T ' ( 6 ) , iremos, primeiro, calcular a taxa média de variação entre os instantes de tempo t = 4 e t = 6 e depois entre t = 6 e t = 8 . A taxa média m pode ser calculada através dessa fórmula aqui:

m = ∆ T ∆ t

Ou seja, a variação de temperatura pela variação de tempo, beleza? Começando pela taxa média entre t = 4 e t = 6 :

m = 32,8 - 38,3 6 - 4 = - 5,5 2 = - 2,75   ° C / h o r a

Agora, calculando a taxa média entre t = 6 e t = 8 :

m = 26,1 - 32,8 8 - 6 = - 6,7 2 = - 3,35   ° C / h o r a

Pronto, temos essas duas taxas médias que, se pararmos para olhar, foram calculadas utilizando o ponto t = 6 . Se tirarmos a média dessas duas taxas de variação (que são calculadas utilizando os pontos mais próximos que temos de t = 6 ), teremos uma aproximação da taxa de variação instantânea T ' ( 6 ) ! Legal essa técnica de aproximação de derivada né? Olha só como vai ficar:

T ' 6 ≈ - 2,75 - 3,35 2 = - 6,1 2 = 3,05   ° C / h o r a

Pronto, matamos essa questão!

Resposta

T ' ( 6 ) é a taxa de variação que representa como a temperatura está variando de acordo com o tempo após as 18 horas da noite.

Podemos estimar que a derivada T ' ( 6 ) vale, aproximadamente, - 3,05   ° C / h o r a .

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