Enunciado

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Calcule as aproximações L n , R n , T n e M n para n = 4 ,   8 e 16 . Então calcule os erros correspondentes E L , E R , E T e E M . (Arredonde seus resultados para seis casas decimais. Você pode usar o comando soma em um sistema algébrico computacional.) Quais observações você pode fazer? Em particular, o que acontece aos erros quando n é dobrado?

∫ 0 2 e x   d x

Passo 1

Vamos começar calculando a integral normalmente:

∫ 0 2 e x   d x = e 2 - e 0 = 6,389056

E agora vamos usar as fórmulas para cada uma das aproximações no nosso intervalo de comprimento 2 .

Passo 2

Primeiro vamos usar n = 4 , nesse caso, cada um dos intervalos será:

Δ x = 2 n = 2 4 = 1 2

Na aproximação L n pelo extremo esquerdo, analisamos os pontos no extremo esquerdo de cada intevalo. Em outras palavras, começamos no zero e vamos somando Δ x :

L 4 = 1 2 e 0 + e 1 2 + e 1 + e 3 2 ≅ 4,924346

Na aproximação pelo extremo direito, começamos com Δ x = 1 2 e vamos somando Δ x :

R 4 = 1 2 e 1 2 + e 1 + e 3 2 + e 2 ≅ 8,118874

Na aproximação pelo ponto médio, começamos em Δ x 2 = 1 / 4 , e vamos somando Δ x :

M 4 = 1 2 e 1 4 + e 3 4 + e 5 4 + e 7 4 ≅ 6,322986

Na aproximação trapezoidal, colocamos pesos nos termos do meio, e dividimos tudo por dois. Em seguida vamos desde o início até o fim do intervalo em passos de Δ x :

T 4 = 1 ( 2 ) ( 2 ) e 0 + 2 e 1 2 + 2 e 1 + 2 e 3 2 + e 2 = 6,52160

E agora para calcular o erro de cada um, é só fazer a diferença até o valor real que calculamos no primeiro passo:

E L = 6,389056 - 4,924346 ≅ 1,464710

E R = 6,389056 - 8,118874 = - 1,729818

E T = 6,389056 - 6,521610 = - 0,132554

E M ≅ 6,389056 - 6,322986 = 0,0660706

Passo 3

Agiora vamos fazer praticamente a mesma coisa para n = 8 . Como o enunciado diz que podemos usar um computador, vamos apenas deixar as fórmulas indicadas aqui:

n = 8         ⇒           Δ x = 1 4

L 8 = 1 4 e 0 + e 1 4 + e 1 2 + … + e 7 4 ≅ 5,623666

R 8 = 1 4 e 1 4 + e 1 2 + e 3 4 + … + e 2 ≅ 7,220930

T 8 = 1 ( 4 ) ( 2 ) e 0 + 2 e 1 4 + 2 e 1 2 + … + 2 e 7 4 + e 2 ≅ 6,422298

M 8 = 1 4 e 1 8 + e 3 8 + … + e 15 8 ≅ 6,372448

E agora é só calcular o erro, conforme fizemos antes:

E L = 0,765390

E R = - 0,831874

E T = - 0,033242

E M = 0,016608

Passo 4

Por fim, vamos fazer n = 16 :

n = 16         ⇒           Δ x = 1 8

L 16 = 1 8 e 0 + e 1 8 + e 2 8 + … + e 15 8 ≅ 5,998057

R 16 = 1 8 e 1 8 + e 2 8 + e 3 8 + … + e 2 ≅ 6,796689

T 16 = 1 ( 8 ) ( 2 ) e 0 + 2 e 1 8 + 2 e 2 8 + … + 2 e 15 8 + e 2 ≅ 6,397373

M 16 = 1 8 e 1 16 + e 3 16 + … + e 31 16 ≅ 6,384899

E agora é só calcular o erro, conforme fizemos antes:

E L = 0,390999

E R = - 0,407633

E T = - 0,008317

E M = 0,004158

Passo 5

Que observações podemos fazer sobre os erros?

Em primeiro lugar, E R e E T sempre deram resultados negativos, isso indica que R n e T n tendem a superestimar a integral.

Por outro lado, E L e E M sempre são negativos, indicando que L n e M n tendem a subestimar a integral.

Em segundo lugar, fica claro que os valores dos erros diminume conforme o valor de n aumenta.

Em terceiro lugar, os erros de M n e T n são sempre bem menores que os demais.

E quando n é dobrado, os erros de E L e E R caem aproximadamente pela metade, e os erros de E T e E M caem aproximadamente por um fator 4 :

Resposta

Valores podem ser calculados computacionalmente (ver tabela). Conforme n é dobrado, os erros E L e E R caem aproximadamente pela metade, e os erros caem aproximadamente por um fator 4 .

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