Enunciado

Calcule a área do conjunto de todos os pontos ( θ , ρ ) tais que θ ²   ≤ ρ ≤ θ

Passo 1

Primieramente, vamos separar nossas duas situações:

θ ²   ≤ ρ

ρ ≤ θ

Podemos ver que o único intervalo que satisfaz as 2 inequações é [0,1]. Logo, os pontos de interseção são θ = 0   e   θ = 1 .

Passo 2

Vamos então olhar o gráfico para poder entender melhor o comportamento das funções.

Agora fica mais fácil vizualizar que a área entre as curvas é a área da curva preta menos a área da curva verde, ambas de 0 até 1.

Passo 3

Sabemos que a fórmula para a área em coordenadas polares é:

0,5 ∫ a b ρ ² d θ

Aplicando os limites de integração:

1 2 ∫ 0 1 θ ² d θ - 1 2 ∫ 0 1 θ 4d θ

Resolvendo a integral simples:

1 2 ∫ 0 1 θ ² d θ - 1 2 ∫ 0 1 θ 4d θ = 1 15

Resposta

A área do conjunto de pontos vale 1 15

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