Calcule a área da região delimitada pela elipse

Passo 1

Através da integral dupla, tem-se que a área de um conjunto é dada por:

A = ∫ ∫ B d x d y

Ou:

A = ∫ a b ∫ c y d y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x d y d x

Neste caso, B é dado no enunciado como uma elipse de eixos dados por 2 a e 2 b . Visto que a > 0 e b > 0 :

- a ≤ x ≤ a

- b ≤ y ≤ b

Assim, fazendo:

x a = ρ c o s θ

y b = ρ s e n θ

Pretende-se determinar o resultado da transformação:

x ,   y = φ ρ ,   θ

Dada por:

d x d y = ∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ d ρ d θ

Então:

∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ = ∂ x ∂ ρ ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ ρ ∂ y ∂ θ = a c o s θ - a ρ s e n θ b s e n θ b ρ c o s θ = a b ρ c o s 2 θ + s e n 2 θ

∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ = a b ρ

Portanto:

d x d y = a b ρ   d ρ d θ

Passo 2

Agora, deve se determinar o conjunto B ρ θ , onde B = φ B ρ θ . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original. Visto que B é uma elipse de eixos a e b , então as novas variáveis serão dadas por:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 → a ρ c o s θ 2 a 2 + b ρ s e n θ 2 b 2 = 1 ∴ ρ = 1

Com isso:

0 ≤ ρ ≤ 1

E

0 ≤ θ ≤ 2 π

Dessa forma, tem-se:

B ρ θ = ρ ,   θ ∈ R 2 | 0 ≤ ρ ≤ 1   e   0 ≤ θ ≤ 2 π

Logo, a área será dada por:

A = ∫ 0 b ∫ 0 a d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 a b ρ   d ρ d θ

Resolvendo a integral em relação à y :

A = a b ∫ 0 2 π ρ 2 2 | 1 0 d θ

Substituindo o intervalo de integração:

A = a b ∫ 0 2 π 1 2 d θ

Passo 3

Agora, integrando em relação à θ :

A = a b 2 θ | 2 π 0

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

A = a b π

Resposta

a b π

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