Lista de Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Elípticas

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Sabendo que D é a região em que   | y | ≤ x e que 1 ≤ x ≤ 2 , calcule a seguinte integral dupla

I = ∬ D   d x d y x 2 + 9 y 2 3 2  

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Calcule ∬ R   e - ( x 2 + 4 y 2 ) d x d y , onde R é a região limitada pela elipse de equação x 2 + 4 y 2 = 4 .

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Calcule a área da figura plana limitada pela curva dada pela equação x 2 3 + y 2 3 = 1 .

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Encontre o valor da área do domínio plano situado no primeiro quadrante acima de y = 2 3 3 x e limitado por 4 x 2 + y 2 = 4 , 4 x 2 + 9 y 2 = 36 .

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Seja D o domínio do R 3 dado por { ( x , y ) | x 2 + x y + y 2 ≤ 1 } . Calcule

∬ D   e x 2 + x y + y 2 d x d y

Sugestão: Faça x = u cos ⁡ α - v sen ⁡ α , y = u sen ⁡ α + v cos ⁡ α e escolha a constante α de forma que o termo misto u v desapareça do integrando.

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Mostre, usando integral dupla, que a área limitada pela elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 é igual a a b π .

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Determine a área delimitada no plano ( O x y ) pela elipse

C : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

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Seja D o domínio do R 3 dado por { ( x , y ) | x 2 + x y + y 2 ≤ 1 } . Calcule

∬ D   e x 2 + x y + y 2 d x d y

Sugestão: Faça x = u cos ⁡ α - v sen ⁡ α , y = u sen ⁡ α + v cos ⁡ α e escolha a constante α de forma que o termo misto u v desapareça do integrando.

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Calcule a integral dupla

I = ∬ D   d x d y 4 x 2 + y 2 3 / 2

Onde D = ( x , y ∈ R ; 1 ≤ x ≤ 2 ,   | y | ≤ x / 2 }

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Encontre o valor da área do domínio plano situado no primeiro quadrante e limitado por y = x , 3 x 2 + y 2 = 3 , x 2 + 3 y 2 = 9 .

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  1. Calcule as seguintes integrais:

d )     ∬ D sin ⁡ 4 x 2 + y 2   d x d y ,

D = x ,   y ; 4 x 2 + y 2 ≤ 1 ,   y ≥ 0

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Questão 1: Calcule a área da região plana R = x ,   y   |   2 x 2 + y 2 ≤ 6 ,   2 x 2 + y 2 ≤ 4 x .

(Dica: Fazer uma mudança de variáveis compatível com a equação da maior elipse).

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Seja f uma unção contínua arbitrária em R 2 e M = ∫ - 1 1 ∫ 0 2 1 - x 2 f x , y d y   d x . É correto concluir que M = ∫ 0 π ∫ 0 b f r   c o s θ ,   2 r   s e n θ   K r ,   θ d r   d θ no caso em que b = ? e   K r ,   θ = ?

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Calcule a integral usando a transformação x = 2 u y = 3 v

∬ R x 2 d A

Onde R é a região limitada pela elipse 9 x 2 + 4 y 2 = 36

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