Calcule

Passo 1

Neste caso, o conjunto B deve ser determinado antes de tudo. Assim, visto que x varia de 0 a 1 , para cada valor de x fixo em [ 0 ,   1 ] , y varia de 0 a x - x 2 . Logo, conclui-se que essa região é o conjunto:

B = x ,   y ∈ R 2   |   0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ x - x 2

Dessa forma, vê-se que ele representa a região limitada por um círculo. Então, fazendo:

y = x - x 2 → x 2 - x + y 2 = 0 → x - 1 2 2 + y 2 = 1 2 2

Logo:

x - 1 2 = ρ c o s θ

y = ρ s e n θ

Pretende-se determinar o resultado da transformação:

x ,   y = φ ρ ,   θ

Dada por:

d y d x = ∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ d ρ d θ

Então:

∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ = ∂ x ∂ ρ ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ ρ ∂ y ∂ θ = c o s θ - ρ s e n θ s e n θ ρ c o s θ = ρ c o s 2 θ + s e n 2 θ = ρ

∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ = ρ

Portanto:

d y d x = ρ d ρ d θ

Passo 2

Agora, deve se determinar o conjunto B ρ θ , onde B = φ B ρ θ . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original. Visto que B é mostrado no esboço a seguir:

Então as novas variáveis serão dadas por:

Quando y = 0 → ρ = 0

Quando y = x - x 2 → ρ = 1 2

Quando x = 0 → ρ = - 1 2 c o s θ

Quando x = 1 → ρ = 1 2 c o s θ

E:

0 ≤ θ ≤ π

Dessa forma, tem-se:

B ρ θ = ρ ,   θ ∈ R 2 | 0 ≤ ρ ≤ 1 2   e   0 ≤ θ ≤ π

Passo 3

Logo, mudando a variável na integral dupla:

∫ ∫ B x   d y d x = ∫ ∫ B ρ θ ρ c o s θ + 1 2   ρ d ρ d θ

= ∫ 0 π ∫ 0 1 / 2 ρ 2 c o s θ + ρ 2 d ρ d θ

E, resolvendo-a:

= ∫ 0 π ρ 3 3 c o s θ + ρ 2 4 | 1 / 2 0 d θ

Substituindo o intervalo de integração:

= ∫ 0 π 1 24 c o s θ + 1 16 d θ

Passo 4

Resolvendo a integral:

= 1 24 s e n θ + 1 16 θ | π 0

Substituindo o intervalo de integração:

= π 16

Resposta

π 16

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados