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Calcule, caso exista.

h) l i m x , y → 0,0 x y 2 x 2 - y 2        

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver mais um exercício junto! Para solucionar ele a gente pode se basear nos exemplos que foram dados no capítulo.

Bom, e como fazemos para descobrir se ele limite existe? Temos que fazer o seguinte teste:

l i m ( x , y ) → ( e , f ) f x , y = a       ⇔   l i m t → 0   f γ 1 t = a   ,   ∀ γ 1 ( t )

Então vamos ao teste! Lembrando que nossa função é dada por:

f x , y = x y 2 x 2 - y 2

Vamos primeiro considerar que γ 1 t = 0 , t , teremos então:

  l i m t → 0   f γ 1 t

l i m t → 0 0   ⋅   t 2 0 2 -   t 2

l i m t → 0 0 -   t 2 = 0

Beleza! Agora vamos considerar um γ 2 t = t , t , e vamos ter:

  l i m t → 0   f γ 2 t

l i m t → 0 t   ⋅   t 2 t 2 -   t 2

l i m t → 0 t 3 0

Aqui a gente precisa lembrar que quando temos uma divisão por zero, nosso resultado tende para infinito, certo? Então, temos:

l i m t → 0 t 3 0 = ∞

Sendo assim, a gente viu que o limite não existe, porque:

  l i m t → 0   f γ 1 t   ≠     l i m t → 0   f γ 2 t

Show de bola! conseguimos!

Resposta

O limite não existe.

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Calcule, caso exista.d) l i m x , y → 0,0 x y x 2 + y 2    
Calcule l i m h , k → 0,0 f x + h , y + k - f x , y - 2 x h - k h , k
1 - Calcule caso exista e ) lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x y x - y
Calcule, caso exista.b) l i m x , y → 0,0 x x 2 + y 2
Represente graficamente e o domínio da função z = f x , y dada por b)