Enunciado

  1. Calcule, caso exista, e justifique sua resposta.

b)   ∫ 0 3 f x d x     onde     f x = 1       s e   0 ≤ x < 2 3       s e   2 ≤ x ≤ 3

Passo 1

∫ 0 3 f x d x     onde     f x = 1       s e   0 ≤ x < 2 3       s e   2 ≤ x ≤ 3

A ideia nessa questão será usar os teoremas da teoria desse capítulo. Olha só:

Teorema: Se f for limitada em [ a , b ] e descontínua em apenas um número finito de pontos de [ a , b ] . Então f será integrável em [ a , b ] .

Repare que f é limitada, pois só pode assumir os seguintes valores: 1 e 3 . Além disso, f é descontínua apenas no ponto x = 2 . Então f ( x ) é integrável no intervalo [ 0,3 ] pelo teorema alí de cima!

Passo 2

Agora vamos calcular a integral que ele nos pede!

I = ∫ 0 3 f x d x

Como nossa função possui descontinuidade, vamos separar em intervalos. Vem comigo!

I = ∫ 0 2 f ( x ) d x + ∫ 2 3 f ( x ) d x

Logo,

I = ∫ 0 2 1 d x + ∫ 2 3 3 d x

Passo 3

Integrando, temos:

  I = 1 × x ​ 0 2 + 3 × x ​ 2 3

Fazendo as contas:

I = 1 × 2 - 0 + 3 × 3 - 2

Por fim,

I = 5

Resposta

f é limitada, pois só pode assumir os seguintes valores: 1 e 3 . Além disso, f é descontínua apenas no ponto x = 2 . Então f ( x ) é integrável no intervalo [ 0,3 ] .

∫ 0 3 f x d x = 5

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