Enunciado

  1. Calcule, caso exista, e justifique sua resposta.

d)   ∫ - 1 1 f x d x     onde     f x =       x         s e     x ∈ Q - x       s e     x ∉ Q

Passo 1

A ideia nessa questão será usar os teoremas da teoria desse capítulo. Olha só:

Teorema: Se f for limitada em [ a , b ] e descontínua em apenas um número finito de pontos de [ a , b ] . Então f será integrável em [ a , b ] .

Teorema: Se f for continua em [ a , b ] . Então f será integrável em [ a , b ] .

Repare que f é descontinua em infinitos, por causa do seguinte:

f x =       x         s e     x ∈ Q - x       s e     x ∉ Q

Entre os - 1 e 1 temos infinitos números racionais. Além disso, nesse mesmo intervalo temos infinitos números não racionais. Isso quer dizer que nossa função terá infinitos pontos de descontinuidade, sacou?!

Logo, como f não atende a nenhum dos teoremas acima, então f não é integrável.

Resposta

f não é integrável, pois possui inifinitos pontos de descontinuidade

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Use o método no Exemplo 4a para calcular as integrais definidas nos Exercícios 63-70.67. ∫ - 1 2 3 x 2 - 2 x + 1 d x
Demonstre que o valor de ∫ 0 1 x + 8 d x situa-se entre 2 2 ≈ 2,8e3 .
Use o método no Exemplo 4a para calcular as integrais definidas nos Exercícios 63-70.63. ∫ a b c d x
Que valores de a e b minimizam o valor de: ∫ a b ( x 4 - 2 x 2 ) d x
A desigualdade sec ⁡ x ≥ 1 + x ² 2 ² vale em - π 2 ,π 2 . Use-a para determinar um limitante inferior para o valor de ∫ 0 1 sec ⁡ x d x .