Enunciado

A desigualdade sec ⁡ x ≥ 1 + x ² 2 vale em - π 2 ,   π 2 . Use-a para determinar um limitante inferior para o valor de ∫ 0 1 sec ⁡ x d x .

Passo 1

Então galera, assim como fornecido pelo enunciado, temos a seguinte desigualdade:

sec ⁡ x - 1 + x 2 2 ≥ 0

É claro que isso só é válido no intervalo supracitado, que é - π 2 ,   π 2 . Integrando a desigualdade no intervalo [ 0 ,   1 ] , teremos:

∫ 0 1 sec ⁡ x - 1 + x 2 2 ≥ 0

Passo 2

Agora que já escrevemos a integral no intervalo correto, basta resolvermos o problema da seguinte forma:

∫ 0 1 sec ⁡ x d x ≥ ∫ 0 1 d x + 1 2 ∫ 0 1 x ² d x

∫ 0 1 sec ⁡ x d x ≥ 1 + 1 2 . 1 3 - 0

∴ ∫ 0 1 sec ⁡ x d x ≥ 7 6

Portanto, é possível concluir que o limite interior para o valor da integral supracitada é 7 6 .

Resposta

L i m i t e   i n f e r i o r =   7 6

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Seja f 0 = 0 e f x = 1 x se 0x ≤ 1 . Mostre que f não é integrável em 0,1 . [Sugestão: mostre que o primeiro termo na soma de Riemann, f x i * Δ x , pode ser tornado arbitrariamente grande.]
Expresse o limite como uma integral definida. lim n → ∞ ⁡ 1 n ∑ i = 1 n 1 1 + i n 2
Use as propriedades das integrais, junto com os exercícios 27 e 28 , para demonstrar a desigualdade. ∫ 1 3 x 4 + 1d x ≥ 26 3
Expresse o limite como uma integral definida. lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n i 4 n 5
Use a Propriedade 8 para estimar o valor da integral. ∫ 0 2 x 3 - 3 x + 3d x