Enunciado

Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ .

D é limitada por y = x 2 e y = x + 2 ; ρ x , y = k y .

Passo 1

Precisamos lembrar primeiramente como calculamos a massa e o centro de massa. Para calcularmos a massa, basta resolvermos a seguinte integral:

m = ∬ D ρ x , y d A

Já o cálculo das coordenadas do centro de massa é dado por:

x - = ∬ D x ρ x , y d A m

y - = ∬ D y ρ x , y d A m

Passo 2

Precisamos começar por entender como é a nossa região, se ela é do tipo I ou do tipo II. Por isto, vamos esboça-la primeiramente.

Temos então uma região do tipo I. Para podermos determinar os limites, precisamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Portanto,

y c u r v a   1 = y c u r v a   2

x 2 = x + 2

x 2 - x - 2 = 0

x - 2 x + 1 = 0

Logo, temos os pontos A = - 1,1 e B = 2,4 . Portanto, a nossa região é:

- 1 ≤ x ≤ 2

x 2 ≤ y ≤ x + 2

Passo 3

Vamos começar calculando a massa da nossa região. Portanto, temos

m = ∫ - 1 2 ∫ x 2 x + 2 k y d y d x = ∫ - 1 2 k x + 2 2 - x 4 2 d x

k 2 ∫ - 1 2 - x 4 + x 2 + 4 x + 4 d x = k 2 ⋅ - x 5 5 + x 3 3 + 2 x 2 + 4 x - 1 2

k 2 ⋅ - 32 5 + 8 3 + 8 + 8 - + 1 5 - 1 3 + 2 - 4 = 36 k 5

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma das coordenadas do centro de massa. Começando pela coordenada x , temos:

x - = ∬ D x ρ x , y d A m = ∫ - 1 2 ∫ x 2 x + 2 k x y d y d x m

x - = ∫ - 1 2 k x ( - x 4 + x 2 + 4 x + 4 ) 2 d x m

x - = k 2 ⋅ - x 6 6 + x 4 4 + 4 x 3 3 + 2 x 2 - 1 2 m

x - = k 2 ⋅ - 32 3 + 4 + 32 3 + 8 - - 1 6 + 1 4 - 4 3 + 2 36 k 5 = 45 4 72 5 = 75 96 = 25 32

Já para a coordenada y , temos:

y - = ∬ D y ρ x , y d A m = ∫ - 1 2 ∫ x 2 x + 2 k y 2 d y d x m

y - = ∫ - 1 2 k x + 2 3 - x 6 3 d x m = k 3 ⋅ ∫ - 1 2 - x 6 + x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8 d x m

y - = k 3 ⋅ - x 7 7 + x 4 4 + 2 x 3 + 6 x 2 + 8 x - 1 2 m

y - = k 3 ⋅ 1269 28 36 k 5 = 23 5 112

Portanto, o centro de massa é dado pelo ponto:

25 32 , 23 5 112

Resposta

Massa:

m = 36 k 5

Centro de massa:

25 32 , 23 5 112

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use a Regra do Ponto Médio para as integrais duplas com m = n = 2 para estimar a área da superfície z = x ⋅ y + x 2 + y 2 , 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2 Use um sistema de computação algébrica para aproximar
Use a Regra do Ponto Médio para as integrais duplas (veja a Seção 15.1) com quatro quadrados para estimar a área da superfície da porção do paraboloide z = x 2 + y 2 que está acima do quadrado 0,1 × 0
Determine a área da superfície.A parte da superfície z = 1 + 3 ⋅ x + 2 ⋅ y 2 que está acima do triângulo com vértices (0,0), (0,1) e (2,1).
Determine a área da superfície.A parte do paraboloide z = 4 - x 2 - y 2 que está acima do plano x y .
Determine, com precisão de quatro casas decimais, a área da parte da superfície z = 1 + x 2 ⋅ y 2 que está acima do disco x 2 + y 2 ≤ 1 .