Enunciado

Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ .

D é limitada por y = 1 - x 2 e y = 0 ; ρ x , y = k y .

Passo 1

Precisamos lembrar primeiramente como calculamos a massa e o centro de massa. Para calcularmos a massa, basta resolvermos a seguinte integral:

m = ∬ D ρ x , y d A

Já o cálculo das coordenadas do centro de massa é dado por:

x - = ∬ D x ρ x , y d A m

y - = ∬ D y ρ x , y d A m

Passo 2

Precisamos começar por entender como é a nossa região, se ela é do tipo I ou do tipo II. Por isto, vamos esboça-la primeiramente.

Temos então uma região do tipo I. Logo,

- 1 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 1 - x 2

Passo 3

Vamos começar calculando a massa da nossa região. Portanto, temos

m = ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 k y d y d x = ∫ - 1 1 k 1 - x 2 2 2 d x

∫ - 1 1 k 1 - x 2 2 2 d x = ∫ - 1 1 k ( 1 - 2 x 2 + x 4 ) 2 d x

2 ⋅ k 2 x - 2 x 3 3 + x 5 5 0 1 = 8 k 15

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma das coordenadas do centro de massa. Começando pela coordenada x , temos:

x - = ∬ D x ρ x , y d A m = ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 x k y d y d x m

x - = ∫ - 1 1 k x 1 - x 2 2 2 d x m

Como a função integrante do numerador é uma função ímpar, a qual está sendo integrada em um intervalo simétrico, o resultado final é 0. Portanto,

x - = 0

Já para a coordenada y , temos:

y - = ∬ D y ρ x , y d A m = ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 k y 2 d y d x m

y - = ∫ - 1 1 k 1 - x 2 3 3 d x m = k 3 ⋅ ∫ - 1 1 - x 6 + 3 x 4 - 3 x 2 + 1 d x m = k 3 ⋅ 2 - x 7 7 + 3 x 5 5 - x 3 + x 0 1 m

y - = 2 k 3 ⋅ 16 35 8 k 15 = 4 7

Portanto, o centro de massa é dado pelo ponto:

0 , 4 7

Resposta

Massa:

m = 8 k 15

Centro de massa:

0 , 4 7

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o centro de massa da lâmina com formato de triângulo reto isósceles com lados iguais de tamanho a se a densidade em qualquer ponto for proporcional ao quadrado da distância do ponto ao vérti
Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ . D é delimitada pela parábola x = y 2 e pela reta y = x - 2 ; ρ x , y = 3 .
Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ . D = x , y 0 ≤ y ≤ cos ⁡ x ,0 ≤ x ≤ π 2 ;ρ x , y = x .
Determine a área da superfície.A parte do plano 2 ⋅ x + 5 ⋅ y + z = 10 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 9
Determine a área da superfície.A parte do plano z = 2 + 3 ⋅ x + 4 ⋅ y que está acima do retângulo 0,5 × 1,4