Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.5 - Ex. 7
Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade .
D é limitada por e ; .
Passo 1
Precisamos lembrar primeiramente como calculamos a massa e o centro de massa. Para calcularmos a massa, basta resolvermos a seguinte integral:
Já o cálculo das coordenadas do centro de massa é dado por:
Passo 2
Precisamos começar por entender como é a nossa região, se ela é do tipo I ou do tipo II. Por isto, vamos esboça-la primeiramente.
Temos então uma região do tipo I. Logo,
Passo 3
Vamos começar calculando a massa da nossa região. Portanto, temos
Passo 4
Agora, vamos calcular cada uma das coordenadas do centro de massa. Começando pela coordenada , temos:
Como a função integrante do numerador é uma função ímpar, a qual está sendo integrada em um intervalo simétrico, o resultado final é 0. Portanto,
Já para a coordenada , temos:
Portanto, o centro de massa é dado pelo ponto:
Resposta
Massa:
Centro de massa: