Enunciado

Calcule o comprimento do segmento de reta x + 3 y = 4 do ponto ( - 2 ,   2 ) ao ponto ( 4 ,   0 ) por três métodos: (a) use a fórmula da distância. (b) use o Teorema 6.3.2. (c) use o Teorema 6.3.3.

Passo 1

A questão pede para acharmos o comprimento da reta 3 y = - x + 4 entre os pontos ( - 2 ,   2 ) e ( 4 ,   0 ) de três formas diferentes: distância entre pontos, fórmula do comprimento de curva integrando em x e integrando em y . No item (a) vamos usar a distância entre pontos:

d = x - x 0 2 + y - y 0 2

Assim,

d = - 2 - 4 2 + 2 - 0 2 = 36 + 4 = 40 = 2 10

Passo 2

Para o item (b) vamos usar a fórmula

L = ∫ a b 1 + y ' 2   d x

Assim, como y ' = - 1 / 3 , temos que

L = ∫ - 2 4 1 + - 1 3 2   d x = 10 3 ∫ - 2 4 d x = 2 10

Passo 3

Por fim, fazendo a integração em y :

L = ∫ a b 1 + x ' 2   d y

Como x ' = - 3

L = ∫ 0 2 1 + 9   d y = 10 ∫ 0 2 d y = 2 10

Resposta

2 10

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