Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis - Capítulo 1.6 - Ex. 1e

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Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:

e)   σ t = t , ln ⁡ sec ⁡ t , ln ⁡ sec ⁡ t + tg ⁡ t ,                           0 ≤ t ≤ π 4

Passo 1

Aplicação diretaaassa de fórmula galera. O comprimento do caminho da partícula é dado por:

L C = ∫ a b σ ' t d t

Nesse caso, temos:

σ t = t , ln ⁡ sec ⁡ t , ln ⁡ sec ⁡ t + tg ⁡ t ,                           0 ≤ t ≤ π 4

σ ' t = 1 , sec ⁡ t ' sec ⁡ t , sec ⁡ t + tg ⁡ t ' sec ⁡ t + tg ⁡ t

σ ' t = 1 , sec ⁡ t tg ⁡ t sec ⁡ t , sec ⁡ t tg ⁡ t + sec 2 ⁡ t sec ⁡ t + tg ⁡ t

σ ' t = 1 , tg ⁡ t , sec ⁡ t sec ⁡ t + tg ⁡ t sec ⁡ t + tg ⁡ t

σ ' t = 1 , tg ⁡ t , sec ⁡ t

Calculando a norma, temos:

σ ' t = 1 2 + tg ⁡ t 2 + sec ⁡ t 2

σ ' t = 1 + tg 2 ⁡ t + sec 2 ⁡ t

Das propriedades trigonométricas:

1 + tg 2 ⁡ t = sec 2 ⁡ t

σ ' t = sec 2 ⁡ t + sec 2 ⁡ t

σ ' t = 2 sec 2 ⁡ t

σ ' t = 2   sec ⁡ t

O comprimento do arco será então:

L C = ∫ 0 π 4 2   sec ⁡ t   d t

L C = 2 ∙ ln ⁡ sec ⁡ t + tg ⁡ t 0 π 4 = 2 ∙ ln ⁡ sec ⁡ π 4 + tg ⁡ π 4 - 2 ∙ ln ⁡ sec ⁡ 0 + tg ⁡ 0

L C = 2 ∙ ln ⁡ 2 2 + 1 - 2 ∙ ln ⁡ 1 + 0 = 2 ∙ ln ⁡ 2 2 2 + 1 - 2 ∙ ln ⁡ 1

L C = 2 ∙ ln ⁡ 2 + 1

Resposta

L C = 2 ∙ ln ⁡ 2 + 1     u . c .

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