Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis - Capítulo 1.6 - Ex. 1b

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Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:

b) σ t = a cos ⁡ t + t sen ⁡ t , a sen ⁡ t - t cos ⁡ t ,                           0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 1

Aplicação diretaaassa de fórmula galera. O comprimento do caminho da partícula é dado por:

L C = ∫ t 0 t f σ ' t d t

Nesse caso, temos:

σ t = a cos ⁡ t + t sen ⁡ t , a sen ⁡ t - t cos ⁡ t ,                           0 ≤ t ≤ 2 π

σ ' t = a - sen ⁡ t + sen ⁡ t + t cos ⁡ t , a cos ⁡ t - cos ⁡ t + t sen ⁡ t

σ ' t = a t cos ⁡ t , a t sen ⁡ t

σ ' t = a t cos ⁡ t 2 + a t sen ⁡ t 2

σ ' t = a 2 t 2 cos 2 ⁡ t + a 2 t 2 sen 2 ⁡ t

σ ' t = a 2 t 2 cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t

σ ' t = a 2 t 2

σ ' t = a t

O comprimento do arco será então:

L C = ∫ 0 2 π a t   d t

L C = a t 2 2 0 2 π = a ∙ 2 π 2 2 - a ∙ 0 2 2 = 2 a π 2

Resposta

L C = 2 a π 2     u . c .

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