Enunciado

Um grupo de engenheiros está construindo uma antena parabólica cujo formato será formado pela rotação da curva y = a x 2 em torno do eixo y . Se a antena tiver 10   p é s de diâmetro e uma profundidade máxima de 2   p é s , encontre o valor de a e a área da superfície da antena.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o valor de a na expressão y = a x 2 e o valor da área da superfície de revolução formada pela rotação dessa curva em torno do eixo y .

Isso significa que vamos ter que usar a fórmula da área da superfície de revolução:

A = ∫ a b 2 π x   1 + y ' 2   d x

Então, o que nós vamos fazer calcular a derivada de y , elevar o resultado ao quadrado, somar 1 e colocar dentro da raiz. Depois, substituímos tudo na integral, com o intervalo a ,   b e integramos para obter nossa área. Em seguida, vamos encontrar o valor de a , usando os valores do diâmetro e da profundidade da antena.

Vamos lá!

Passo 2

Então, primeiramente, vamos calcular a derivada da nossa função:

y ' = d d x ( a x 2 )

y ' = 2 a x

Elevando esse resultado ao quadrado e somando 1 , temos:

1 + y ' 2 = 1 + 2 a x 2

1 + y ' 2 = 1 + 4 a 2 x 2

Agora considerando que nossa área vai de 0 até o raio c e substituindo o resultado obtido na raiz do integrando da nossa fórmula de área, vamos ter:

A = 2 π ∫ 0 c x 1 + 4 a 2 x 2   d x

Passo 3

Pra resolver essa integral, vamos fazer uma substituição simples, chamando u = 2 a x , Dessa forma, temos que d u = 2 a   d x . Então, substituindo na integral, ficamos com:

A = 2 π ∫ 0 2 a c u 2 a 1 + u 2 d u 2 a

A = π 4 a 2 ∫ 0 2 a c 1 + u 2 1 2 2 u   d u

Integrando em relação a u :

A = π 4 a 2 2 3 1 + u 2 3 2 0 2 a c

E aplicando os limtes de integração:

A = π 6 a 2 1 + 4 a 2 c 2 - 1

Passo 4

O problema nos dá o diâmetro, então temos que:

2 c = 6 m  

E

a c 2 = 1 m

Então

c = 3 m

E

a = 1 9 m

Agora, podemos calcular aárea A :

A = π 6 a 2 1 + 4 a 2 c 2 - 1

A = 6 π

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a = 1 9

A = 6 π

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