Calcule

∫ 0 π 3 3 + cos ⁡ 3 x d x

Passo 1

Podemos usar a propriedade que diz que a integral da soma é a soma das integrais e dividir a integral em duas:

∫ 0 π 3 3 + cos ⁡ 3 x d x = ∫ 0 π 3 3 d x + ∫ 0 π 3 cos ⁡ 3 x d x

Então faremos uma substituição tal que 3 x = u → 3 d x = d u → d x = d u 3

E que 3 π 3 = π   e   3 0 = 0

∫ 0 π 3 3 + cos ⁡ 3 x d x = ∫ 0 π 3 3 d x + 1 3 ∫ 0 π cos ⁡ u d u

Passo 2

Vamos agora lembrar que se:

d sin ⁡ u d u = cos ⁡ u → ∫ cos ⁡ u d u = sin ⁡ u

Assim:

1 3 ∫ 0 π cos ⁡ u d u = 1 3 sin ⁡ u π 0

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Para ∫ 3 d x = 3 ∫ x 0 d x , n = 0

3 ∫ x 0 d x = 3 x n + 1 n + 1 = 3 x 0 + 1 0 + 1 = 3 x 1 1 = 3 x

∫ 0 π 3 3 d x = 3 x π 3 0

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F x uma primitiva de f x , então:

∫ a b f x d x = F b - F a

Assim: 3 x π 3 0 + 1 3 sin ⁡ u π 0 =

= 3 π 3 - 3 0 + 1 3 sin ⁡ π - sin ⁡ 0 = π - 0 + 1 3 0 - 0 = π

Resposta

∫ 0 π 3 3 + cos ⁡ 3 x d x = π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados