Calcule

∫ 1 2 x 3 + x + 1 x 3 d x

Passo 1

Podemos reescrever como sendo:

∫ 1 2 x 3 + x + 1 x 3 d x = ∫ 1 2 x 3 d x + ∫ 1 2 x d x + ∫ 1 2 1 x 3 d x

Passo 2

Agora vamos aplicar a integração de polinômio

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Para ∫ x 3 d x , n = 3

∫ x 3 d x = x n + 1 n + 1 = x 3 + 1 3 + 1 = x 4 4

Para ∫ x d x = ∫ x 1 d x , n = 1

∫ x 1 d x = x n + 1 n + 1 = x 1 + 1 1 + 1 = x 2 2

Para ∫ 1 x 3 d x = ∫ x - 3 d x , n = - 3

∫ x 1 d x = x n + 1 n + 1 = x - 3 + 1 - 3 + 1 = x - 2 - 2 = - 1 2 x 2

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F x uma primitiva de f x , então:

∫ a b f x d x = F b - F a

Assim: x 4 4 + x 2 2 - 1 2 x 2 2 1 =

= 2 4 4 + 2 2 2 - 1 2 2 2 - 1 4 4 + 1 2 2 - 1 2 1 2 = 45 8

Resposta

∫ 1 2 x 3 + x + 1 x 3 d x = 45 8

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