Calcule a derivada.

y = e^(x^x)

Passo 1

Aqui vamos usar a regra da cadeia:

f ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Temos que g x é a função mais de dentro e f x a função mais de fora:

u = g x = x x

f u = e u

Assim temos então que:

y ' = f ' g x ⋅ g ' x = e u ' ⋅ x x '

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função exponencial, da função logarítmica natural e do polinômio:

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

ln ⁡ f x ' = 1 f x ⋅ f ( x ) '

x n ' = n x n - 1

Passo 3

Primeiro vamos calcular f ' g x :

f ' g x = e u ' = e u ⋅ u ' = e u ⋅ u 1 - 1 = e u ⋅ u 0 = e u ⋅ 1 = e u

Agora para g ' x vamos usar uma propriedade:

a b = e b ln ⁡ a

Assim:

x x = e x ln ⁡ x

g ' x = x x ' = e x ln ⁡ x ' = e x ln ⁡ x x ln ⁡ x '

Passo 4

Vamos ter que usar a regra do produto para calcular x ln ⁡ x ' :

f x g x ' = f ' x g x + g ' x f x

Temos que:

f x = x

e

g x = ln ⁡ x

Vamos ter então que:

x ln ⁡ x ' = x ' ln ⁡ x + ln ⁡ x ' x = x 1 - 1 ln ⁡ x + 1 x x ' x = x 0 ln ⁡ x + x 1 - 1 = 1 ln ⁡ x + x 0 = ln ⁡ x + 1

Agora substituindo:

g ' x = x x ' = e x ln ⁡ x ' = e x ln ⁡ x x ln ⁡ x ' = e x ln ⁡ x ln ⁡ x + 1

Passo 5

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y ' = e u ' ⋅ x x ' = e u ⋅ e x ln ⁡ x ln ⁡ x + 1

E por último é só substituir de volta a substituição que fizemos com u :

y ' = e u ⋅ e x ln ⁡ x ln ⁡ x + 1 = e x x x x ln ⁡ x + 1

Resposta

y ' = e x x x x ln ⁡ x + 1

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